ENGRENAGES
Nombre des dents.
Le pas de division des deux roues qni engrènent est le même pour ces roues. Le nomhre des dents de ces deux roues est dans le rapport des rayons de ces roues. Le nombre absolu des dents est arbitraire sous le rapport géométrique, mais il est déterminé par la force qui agit à la circonférence des roues.
Condition primitive pour la forme des dents.
Les dents de deux roues qui engrènent doivent être formées de façon que le rapport de la vitesse angulaire des deux roues soit une quantité constante dans chaque moment de la rotation. 11 existe une infinité de paires de formes de dents qui correspondent à cette condition; les plus usitées sont les suivantes:
Premier engrenage épicycloïdique (fig. 7, pl. II).
nam est la dent de la roue R. an une ligne radiale, am un arc épicycloïdique; le rayon du cercle primitif est R. Le rayon du cercle
générateur -i- r. n, m a, la dent de la roue r. a n, une ligne ra-
dialo droite, am, un arc épicycloïdique. Le rayon du cerclo primitif
de cette épicycloïde est r; le rayon du cercle générateur -i- R.
Deuxième engrenage épicycloïdique (fig. 8, pl. II).
nam est la dent de la roue R. n, am, la dent de la roue r. am est un arc épicycloïdique. an, est un arc hypoeycloïdique. Le rayon
GEOMETRIE
du cercle primitif pour am = R, pour an, = r. Les rayons des cercles générateurs pour am et an, ont la même longueur, mais
ils sont plus petits que r. am, arc épieycloïdique. an arc
liyporycloïdique.
Hayon du cercle primitif pour am = r. Rayon du cercle primitif pour an — R Les rayons des cercles générateurs, pour an et am,,
sont de la même longueur, mais plus petits que — R. Chacun de
ces quatre arcs correspond à un roulement sur un arc de division. Cette disposition est applicable surtout pour une transmission entre deux axes qui ont des vitesses très différentes.
Crémaillère avec pignon (fig. 9, pl. II).
nam est la dent de la crémaillère, an perpendiculaire sur la ligne primitive de la crémaillère, am arc cycloïdique. Rayon du cercle
générateur = m, an, dent du pignon, an, ligne droite radiale. am, développante du cercle r. Les arcs a m et ara, correspondent à une division.
Engrenage intérieur cycloïdique (fig. 10, pl. II).
Rr les cercles diviseurs, nam la dent de la roue R. n, am, la dent de la roue r. am, an, arcs hipocycloïdiques, rayons du cercle primitif R et r. Rayons des cercles générateurs, égaux pour les
deux, mais plus petits que-^-r. aro,, an arcs épicycloïdiques, rayons
des cercles primitifs r R, rayons des cercles générateurs, égaux pour les deux.
Engrenage s avec arcs de cercle.
On obtient également des formes utiles pour les engrenages si l'on arrondit les parties extérieures des dents d’après des arcs de cercles convenables et si l’on fait les parties intérieures d’après des lignes droites ou radiales. Les rayons d'arrondissement pour les parties extérieures des dents sc trouvent d’après les équations suivantes :
GEOMETRIE
Notations : R r sont les cercles diviseurs des roues ; n = - — le
nombre de transmission, c’est-à-dire le nombre qui indique combien de fois la petite roue doit tourner à un tour de la grande roue ;
t la division des dents, égale pour les deux roues.
les rayons
d’arrondissement pour les dents des roues r et R.
Les résultats que fournissent ces équations sont contenus dans le tableau suivant:
n = oo correspond à un engrenage à crémaillère. Il faut remarquer que
Le tracé des dents au moyen de ces rayons d’arrondissement est expliqué par la figure 1, planche III. R r sont les cercles diviseurs des roues. R, r, deux cercles dont les rayons sont moitié grands que R
etr. a M = a N = am = an = t. HO = NO = (j^j , m o = no = L’arc ifîTl? est tiré de O, et celui de mnp de o.
CP est la tangente à JilNÎ>, et cp la tangente à mnp.
Si la partie intérieure des dents doit être arrondie d’après des arcs de cercle, de même que la partie extérieure, on trouvera les rayons d’arrondissement d'après les formules suivantes:
GEOMETRIE
Désignation de l’arc. Rayon d'arrondissement.
(Fig. 8, pl. II.)
am
an
Les notations de ces formules sont:
Rr les rayons des cercles diviseurs des deux roues; t la division des dents; R, r, les rayons des cercles auxiliaires qui doivent être
tels que R| < vj- R et r, < -g- r.
Enyrenaye développante extérieur (fig. 2, pl. III).
Notations : Rr les cercles diviseurs des roues; a b = à une division de l’engrenage; bo une ligne radiale droite; gaf une ligne perpendiculaire sur bo; O g perpendiculaire sur gaf ou parallèle à bo; R| r, deux cercles décrits avec Og et of; fh développante de cercle, formée par le développement de if sur r, . Les parties radiales droites h h,, kk, doivent être prolongées vers les centres O o, aussi loin, que les parties extérieures courbes aient un jeu suffisant pour le libre passage.
Les dents, construites de cette manière, peuvent agir en tout par deux divisions les unes sur les autres; par une division d’un côté et par une divisions de l’autre côté de la ligne centrale O o. Si l’on veut que les dents agissent les unes sur les autres d’un côté et de l’autre de la ligne centrale, en plus ou en moins d’une division, alors il faut que les longueurs a b et ai soient égales aux chemins par lesquels l’action doit avoir lieu. Si, par exemple, on fait a b = 1‘, d’une division, et ai = P/s d'une division, on obtient un engrenage qui agit par 1'/» + P/, de divisions.
GEOMETRIE
Engrenage développante, intérieur (fig. 3, pi. III).
Si deux dents doivent agir l’une sur l'autre, par deux divisions, il faut procéder ainsi qu'il suit:
Tracer les cercles primitifs R et r, et au centre o de l'engrenage un angle de division aob; tracer bo; mener une perpendiculaire af de a; la prolonger des deux côtés; tracer O g parallèlement à ob; décrire avec les rayons of et O g les cercles r, et R, ; faire ac = af; tracer les développantes cd et ce, qui prennent naissance par le développement de fc et gc sur r, et R,; alors cd et ce sont les parties curvilignes des dents.
Pour le libre passage des dents il faut ajouter à cd une partie radiale droite dd,, et à ec une partie curviligne ce,. Si les dents doivent agir des deux côtés de la ligne centrale, par les chemins s et s,, il faut faire ca = s et af = s,. Quant au reste, le môme procédé est à observer.
Propriété » de V engrenage à développante de cercle.
L’engrenage, à développante de cercle, a les propriétés pratiques suivantes :
1* Toutes les roues, munies de ces dents, peuvent se mouvoir régulièrement si les pas sont égaux.
2° La distance des axes dos roues peut être augmentée ou diminuée indépendamment do l’engrenage exact; la durée de l’engrenage exact cependant est diminuée dans ce cas.
3° Ces dents occasionnent le moindre frottement entre toutes.
4“ Elles ne changent leur forme par l’usure que do la moindre quantité possible.
5° Ces dents peuvent servir pour faire mouvoir des axes qui no se coupent pas et qui forment un angle.
6° Ces dents sont semblables géométriquement et peuvent être taillées avec facilité au moyen do machines.
Engrenage général (fig. 4, pl. III).
Si la deut de l’une des roues est tracée arbitrairement, celle de l'autre peut être trouvée, quant à sa forme, de la manière suivante. Soit : Rr les cercles de division, anb line entaille curviligne, qui représente la forme de la dent r. Pour trouver la forme
GEOMETRIE
correspondante de la dent R, il faut prendre à volonté un point n
sur a b; tracer la normale nm; faire am, =am; tracer par m, une ligne droite qui coupe le cercle R sous le même angle que celui sous lequel r est coupé par nm; enfin faire m, n, — m n; alors n, est un point de la forme cherchée. Appliquer ce procédé sur plusieurs points de la courbe a b, et on obtient uue série de points de la courbe de la deut pour la roue R.
Engrenage des roues coniques (fig. 5, pl. II).
Soit C A et C a les axes; Cbc et Cbf les cônes primitifs; Cb la ligne suivant laquelle ces cônes se touchent. En élevant en b sur bC une perpendiculaire S b s, en menant Se et s f, et en supposant que les triangles e S b et b s f fassent une rotation autour de CA et CA, deux nouvelles surfaces coniques sont engendrées et les lignes, dans lesquelles ces cônes coupent les surfaces des dents, coïncident approximativement avec les formes des dents de deux roues cylindriques dont les rayons sont égaux à S b et s b. Si l’on arrondit les dents, d'après des arcs de cercle, il faut (après le procédé du numéro 25) substituer dans les formules la valeur de
S b i ■+■ cos u .
s b i cos u -f- 1
Dans ce cas i = est le nombre de transmission ; a = angle b O 16
A C a des axes. Si les directions des axes font un angle de 90° , on
a « = 90° et n = i1.
Vis sans fin (fig. 5 et 6, pl. III).
Dans la rotation de la vis un point quelconque du cercle de la roue parcourt un chemin égal à la hauteur d'un pas de vis. Le nombre des divisions, dout la roue avance par une rotation de la vis, est par conséquent égal au nombre des filets de la vis. Avec uno vis à uu seul blet la roue avance d'une division si la vis tourne uue fois autour de son axe.
L’épaisseur des dents est calculée d’après la force à transmettre. Les tonnes des dents de la roue et des filets de la vis sont expliquées par les figures 5 et 6. La figure Ô est la section par un plan perpendiculaire à l’axe de la roue. Les lignes d’intersection
GEOMETRIE
mnp, m, u, p, sont à tracer comme celle d’un engrenage à crémaillère.
Le tracé de la via est le plus simple possible, de même que l'exécution, si la ligne courbe n m est omise ; mais dans ce cas la ligue m, n, doit être construite pour plus d’une division.
Dans le cas de la transmission de grandes forces les dents sont fondues avec la roue. Dans les vis sans fin, destinées à des transmissions de précision, les dents sont taillées dans le métal même.
