CHAPITRE II
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
(Toutes les dimensions sont exprimées en centimètres, et les efforts en kilogrammes.)
Résistance contre la rupture par l’extension.
La mesure de la résistance contre la rupture par extension est l’effort en kilogrammes, 'capable de produire la rupture d’un prisme ou d'une tige d'une section d'un centimètre carré. Soit:
91 la résistance contre l'extension (résistance absolue) de la matière dont se compose ce prisme ; a la section ; K la force, capable de produire la rupture de ce prisme; on a la relation suivante:
K= 9la, a = -J, « = f-
Les valeurs de ?l pour les matériaux, usités dans les constructions, sont relatées dans le tableau numéro 57.
Calcul des moments d’élasticité de die erses formes ou figures de sections transversales (pl. V).
Le moment d’élasticité d'une section (c’est-it-dire la somme des moments statiques de toutes les tensions et pressions qui se sont manifestées dans la section d'un prisme à la suite d’une flexion) peut être trouvé, quand on multiplie la tension par centimètre carré de la fibre la plus étendue, par une expression E qui dépend des dimensions de la section. Soit:
M la somme des moments des forces extérieures qui produisent les tensions et pressions d'une section du corps;
$ la tension par centimètre carré de la fibre la plus étendue de la même section du corps;
E l’expression susmentionnée ;
z la distance de la fibre la plus tendue à partir de la fibre neutre (qui passe par le centre de gravité, et dans laquelle il n’y a ni extension ni compression).
On a :
(Les expressions de E et de z, pour les diverses sections usitées, sont résumées dans la planche V. 11 est admis que l’extension a lieu en haut et la compression en bas.)
^Résistance des corps prismatiques contre la rupture par la flexion.
Notations :
2) est la plus grande tension (par centimètre carré) qui a lieu au point du corps oh l’extension est la plus grande ;
33 E est le moment d’élasticité qui correspond au profil dans lequel la plus grande tension a lieu. Les expressions de E pour les diverses sections sont résumées dans la planche V ;
p est le poids du prismo en kilogrammes.
Voici les divers cas :
1° Le prisme est encastré à une extrémité et chargé à l’autre extrémité :
Fig. 5, pl. IV. 33 B = PI -f -i- pl
2" Le prisme s'appuie aux deux extrémités et est chargé au milieu :
Fig. G, pl. IV. 23E = Pl -f- ~ pl
3" Si la charge 2 P est éloignée de c et c, des points d'appui : Fig. 7, pl. IV. 33E~=-^-(P + 1-p)
4” Si à une distance c de chaque point d'appui agit une charge P : Fig. 8, pl. IV. 23 E = Pc -f-
RESISTANCE DES MATERIAUX
5" Si une charge 2 P est uniformément répartie sur la longueur 2 e de la barre et si le centre de gravité de la charge est éloigné de e et c, des deux points d'appui:
Fig. 9, pl. IV. SS E = P + JL
Si l’on veut calculer, au moyen do ces formules, la charge qui occasionne la rupture d’une barre, il faut remplacer SS par le coefficient de rupture qui correspond à la matière dont ce solide est composé.
Si, au contraire, l’on veut calculer les dimensions de la section que doit avoir la barre, pour supporter avec sécurité une charge donnée, il faudra ne mettre dans ces formules, à la place de SS, que la cinquième, dixième et même la vingtième partie du coefficient de rupture.
Pour la construction des machines on ne prend généralement que la dixième partie de ce coefficient. Les coefficients de rupture, pour les divers matériaux, sont indiqués au tableau numéro 57, dans la colonne verticale SS.
Résistance des solides contre la rupture par compression.
Si la dimension d’un solide dans la direction de la pression est petite, relativement il la section on au profil, l’elTort que produit l’écrasement est indépendant de la longueur et proportionnel à co profil. Les coefficients de résistance sont indiqués au numéro 58.
Charge qu'une longue barre peut porter sans fléchir (fig. 10, pl. IV).
Soit :
1 la longueur de la barre, posée verticalement sur un appui ;
P la plus grande charge que la barre peut porter sans fléchir;
k la plus petite des dimensions do la section de la barre;
ê le module d’élasticité de la matière dont sc compose le solide (tableau numéro 57);
E l’expression du tableau (pl. V), correspondant au profil du prisme.
On obtient les équations suivantes pour une barre qui pout fléchir librement en tout sens:
RESISTANCE DES MATERIAUX
1° Pour une section quelconque:
2° Pour une barre cylindrique du diamètre d :
3“ Pour un cylindre creux : d le diamètre extérieur, d, le diamètre intérieur:
4° Pour une barre rectangulaire :
j ,bl«
(h est la plus petite, b la plus grande des dimensions du profil de la barre.)
Les pièces des machines, soumises à la compression, ont des dimensions telles, que la charge, qui produirait une flexion permanente, est 10, 20 et ÔO fois plus forte que celle à laquelle ces pièces ont à résister. Pour calculer la section que doit avoir une barre pour pouvoir porter une certaine charge Q sans fléchir, il faut mettre dans ces formules pour P des valeurs qui sont 10, 20 ... 50 fois plus grandes que Q.
Résistance des solides contre la rupture par torsion.
Soit:
P la force (en kilogrammes) que produit la torsion ;
R (en centimètres) la longueur du bras de levier auquel P agit; T un coefficient, dépendant de la nature de. la matière, et qui me. sure la plus grande tension des fibres à la surface du solide.
On a les équations suivantes:
1° Pour un cylindre d’un diamètre d :
RESISTANCE DES MATERIAUX
2° Pour un cylindre creux téricur) :
(d et d, le diamètre extérieur et in-
3° Pour un prisme rectangulaire (dont les côtés Bont b et h): PU = b h Vb* -f h*
4” Pour un prisme dout la section est un carré (b le côté):
àV'l
5° Pour un prisme d’un profil quelconque:
PR = — Vf x>
JS-fx» est le moment d’inertie du profil, relativement à un axe, qui passe par le centre de gravité de la section dans une direction perpendiculaire au plan du profil ; a est le plus long des rayons que l’on peut tirer du centre de gravité do la section aux points de la circonférence.
Si avec ces formules on veut calculer le moment statique, nécessaire pour produire la rupture par torsion, il faut y introduire la valeur de T d’après le tableau numéro 57. Si d'un autre côté l'on veut déterminer les dimensions des barres ou d'arbres, de manière qu'ils puissent résister avec sécurité à un moment de torsion, il ne faudrait faire entrer en ligne de compte que la dixième ou la trentième partie de la valeur T du coefficient (tableau numéro 57).
Parois de vases cylindriques ou sphériques.
D le diamètre (en centimètres) intérieur d’un vase sphérique ou cylindrique ;
S l'épaisseur de la paroi ;
p0 la pression du liquide dans l’intérieur du vase sur un centimètre carré ;
p, la pression du milieu extérieur sur un centimètre carré de la surface extérieure de la paroi;
71 la tension par centimètre carré qui a lieu entre les molécules qui forment la surface intérieure de la paroi.
Pour déterminer l'épaisseur des parois du vase, on a les relations suivantes:
RESISTANCE DES MATERIAUX
1° Vases cylindriques:
Exact : ô
Approximatif: 5
2“ Vases Bphériques:
Exact : S
'Jl-f 2p, — P»
Vit -(- 2 p, — p J
Approximatif : S
Afin de déterminer l’épaisseur du métal, capable de résister avec sécurité, il ne faut introduire dans les formules pour 31 qu’une partie aliquotc du coefficient de rupture par l’extension, ainsi que cela a déjà été dit précédemment.
Allongement et raccourcissement des barres.
1 la longueur naturelle d’une barre ou tige ;
a sa section ;
F l’effort qui produit le raccourcissement ou l’allongement de la barre ;
e le raccourcissement ou l’allongement de la tige par l’effort ;
t le module d’élasticité de la matière (tableau numéro 57), c’està-dire l’effort qui serait nécessaire pour produire un allongement égal à la longueur naturelle de la barre. La relation suivante existe pour des efforts qui ne dépassent pas la limite d’élasticité.
— est l’effort qui agit sur chaque centimètre carré de la section ;
est l’allongement ou le raccourcissement de chaque centimètre de la longueur de la barre.
RESISTANCE UES MATERIAUX
