CHAPITRE n

(Toutes les dimensions sont exprimées en centimètres, et les efforts en kilogramme^.)

Eésistance à la rupture par extension.

La résistance à la rupture par extension se mesure par Teffort en kilogrammes, capable de produire la rupture d'un prisme ou d'une tige d'une section d'un centimètre carré.

Si on désigne par A la résistance à l'extension (résistance absolue) de la matière dont se compose ce prisme, par a la section et par K la force, capable de produire sa rupture, on a » la relation suivante:

Les valeurs de A, pour les matériaux usités dans les constructions, sont relatées dans la table du Ne* 57.

Calcul des moments ^élasticité de différentes formes de sections. PI. V.

Le moment d'élasticité d'une section d'un prisme, c'est-à-dire la somme des moments statiques de toutes les tensions 4t pressions, déterminées dans cette section par une action de flexion,

>ogle

peut être obtenu en multipliant la tension, par centimètre carré, de la fibre la plus étendue par un coefficient E, qui dépend des dimensions de la section.

Désignons par:

M la somme des moments des forces extérieures, qui produisent

les tensions et pressions d'une section du prisme, B la tension par centimètre carré de la fibre la plus étendue de

la même section, E le coefficient mentionné précédemment, z la distance de la fibre la plus tendue à la fibre neutre (qui

passe par le centre de gravité, et dans laquelle il n'y a ni

extension ni compression); on a:

(Les expressions de E et de z, pour les diverses sections usitées, sont résumées dans la planche V. On a admis que l'extension avait lieu pour les fibres du haut et la compression pour celles du bas.

Résistance des corps 'prismatiques à la rupture par flexion.

En désignant par:

B la plus grande tension (par centimètre carré) qui se produise

dans la pièce, B E le moment d'élasticité qui correspond à la section dans laquelle se produit la plus grande tension, p le poids du prisme en kilogrammes, on obtient les formules suivantes:

1° Prisme encastré à une extrémité et chargé à l'autre:

Fig. 5, PL IV. B E = P 1 + A- pi

2° Prisme çppuyé aux deux extrémités et chargé au milieu :

Fig. 6, PL IV. BE = Pl + A-pl

3° Charge 2 P aux distances c et ct des points d'appui:

• Fig. 7, PL IV. B E =£A (P + i- ?)

Cette équation suppose que le maximum de tension ait lieu pour la section à laquelle est appliquée la force 2P; c'est ce

qui a lieu pour > — -, c désignant la plus petite des deux

distances c et c,.

4° A une distance c de chaque point d'appui agit une charge P:

Fig. 8, PL IV. B E = P c + 2i

5° Une charge 2 P est uniformément répartie sur la longueur 2 e de la barre et le centre de gravité de la charge est aux distances c et ct des deux points d'appui:

Fig. 9, PI. IV. BE = P(^---î-) + -?-£f

Cette relation n'est qu'approximative; elle suppose que le maximum de tension ait lieu pour la section correspondant au centre de gravité de la charge 2 P. Rigoureusement, ce maximum

se produit dans la section dont l'abscisse est x = — — ? --— e

r 2P1 + pe

par rapport au centre de gravité de la charge, en supposant que

ce point tombe sur la longueur 2 e de la partie chargée, ce qui

u 2P^1 — c— e exige quon ait: — ^ .

Dans ce cas, à l'expression précédente de B E, il convien-

drait douter le terme £ -P + fJL-J£. •

" 2 P 1 + pe 41

Pour p = o, on a B E = P —** (l — ^).

Pour calculer, au moyen de ces formules, la charge capable de produire la rupture d'une barre, il faut remplacer B par le coefficient de rupture, qui correspond à la matière dont ce solide est formé.

Si, au contraire, on veut calculer les dimensions de la section que doit avoir la barre, pour supporter avec sécurité une charge donnée, il ne faut mettre, à la place de B, que la cinquième, la dixième et même la vingtième partie du coefficient de rupture.

Dans la construction des machines, on ne prend généralement que la dixième partie de ce coefficient. Les coefficients

22 BÉSISTÀNCE DES MATÉRIAUX.

de rupture , pour les divers matériaux , sont donnés par là tablé* du N=- 57, dans la colonne verticale B.

Résistance des solides à la rupture par compression.

Si la dimension d'un solide, parallèlement a la direction de la pression, est faible relativement à la section, l'effort qui produit l'écrasement est indépendant de la longueur et proportionnel àcette section. Les coefficients de résistance sont indiqués au

Charge qtCune longue barre peut porter sans fléchir. Fig. 10, PI. IV.

Si on désigne par:

1 la longueur de la barre, posée verticalement sur un appui, P la plus grande charge que cette barre puisse porter sans fléchir, k la plus petite des dimensions de la section de la barre, s le module d'élasticité de la matière dont le solide est formé

(tableau N£=. 57), E l'expression de la PI. V, correspondant au profil du prisme, n = 3-142,

on obtient les équations suivantes, pour une barre qui peut fléchir librement en tous sens:

1° Pour une section quelconque, dans laquelle le centre de gravité correspond au milieu de la dimension k:

2° Pour une# barre cylindrique, de diamètre d :

3° Pour un cylindre creux, dont les diamètres sont d et dt i

4° Pour une barre à section rectangulaire:

P = Î27r "F" (h est la plus petite, b la plus grande des dimensions du profil).

Les pièces des machines, soumises à la compression, ont des dimensions telles, que la charge capable de produire une flexion permanente, soit 10, 20 et 50 fois plus forte que celle qui agit sur ces pièces. Pour calculer la section que doit avoir une barre, susceptible de porter une certaine charge Q sans fléchir, il faut mettre dans les formules, pour P, des valeurs 10, 20 . . . 50 fois plus grandes que Q.

Rtsistance des solides à la rupture par torsion.

Soient :

P la force (en kilogrammes) qui produit la torsion, R (en centimètres) la longueur du bras de levier de P, T un coefficient, dépendant de la nature de la matière et qui mesure la plus grande tension des fibres à la surface du solide;

On a les équations suivantes:

1° Pour un cylindre d'un diamètre d:

P R = T ,%- d3 lo

2° Pour un cylindre creux de diamètres d et d, :

lo a

3° Pour un prisme rectangulaire (dont les côtés sont b et h):

P R = -J- b h Kb^TF b

4Q Pour un prisme à section carrée:

b* PR = T ° .

5° Pour un prisme d'un profil quelconque:

PR =--T- 2fx* a

J f x2 est le moment d'inertie du profil, par rapport à un axe passant par le centre de gravité de la section et perpendiculaire à son plan; a est le plus grand des rayons' que l'on peut mener du centre de gravité de la section aux points de la circonférence.

Cette formule, qui n'est qu'approximative, suppose -que les forces intérieures, développées aux différents points de la section (forces de 'glissement), soient perpendiculaires aux lignes qui joignent ces points au centre de gravité. Cette hypothèse n'est rigoureusement vraie que pour les sections circulaires, pleines ou creuses. Une analyse plus exacte* donne, pour la section rectangulaire (b < h):

PR=2 Tb^h y

et, pour la section carrée :

Si, avec les formules précédente^, on veut calculer le moment statique, nécessaire pour produire la rupture par torsion, il faut y introduire la valeur de T donnée par la table du N?L 57. Si, d'un autre côté, on veut déterminer les dimensions de barres ou d'arbres, de manière à ce qu'ils puissent résister avec sécurité à un moment de torsion donné, il ne faut prendre que la dixième ou la trentième partie de la valeur de ce coefficient.

Parois de vases cylindriques ou sphériques.

Désignons par:

D le diamètre intérieur (en centimètres) d'un vase sphérique ou

cylindrique, '

ô l'épaisseur de la paroi,

p0 la pression du fluide à l'intérieur sur un centimètre carré, pt la pression extérieure sur uh centimètre carré de la surface

de la paroi, A la tension, par centimètre carré, qui a lieu entre les molécules, formant la surface intérieure de la paroi.

Pour déterminer l'épaisseur des parois, on a les relations suivantes :

1° Vases cylindriques:

2 LK A + 2Pl-p0 J Ou approximativement: S= £(^'-^-p-)

RESISTANCE DBS MATÉRIAUX. 25

2° Vases sphériques:

,2yy 2A+3Pl-Po *j

0» approximativement: 6 = P- (-^-fe^— ) '

Pour déterminer l'épaisseur du métal, capable de résister avec sécurité, il ne faut introduire dans les formules, pour A, qu'une partie aliquote du coefficient de rupture par extension, ainsi que nous Pavons déjà dit précédemment

A toute dilatation ou contraction a, qui se produit en un point, suivant une certaine direction, correspond, dans toutes les directions perpendiculaires une contraction ou une dilatation égale

à — a (m étant compris entre 3 et 4). Les formules précédentes

ne tiennent par compte de ces contractions ou dilatations, c-à-d supposent m = oo . En introduisant m et on supposant px = 0, on a, pour les réservoirs cylindriques:

.. D ri/"iTA + (in-l)]S 1 °— 2 IV mA-jm+Opo J

et, pour les réservoirs sphériques:

d ri/"2.i^-A±2 (m 2) p° - il

ô— 2 IV 2 m A — (m + 1) p0 J'

Toutes les formules, pour les réservoirs cylindriques, supposent d'ailleurs que, sous l'action de la pression intérieure, toutes les sections se déforment également et que, de plus, il n'y ait pas de tension suivant Taxe; c'est ce qui a rigoureusement lieu pour les tuyaux ouverts à leurs deux extrémités.

Allongement et raccourcissement des barres.

Soient: x

1 la longueur naturelle d'une barre, a sa section,

e le raccourcissement ou l'allongement de cette barre, P l'effort qui le produit.

è le module d'élasticité de la matière (table N=. 57), c'est-à-dire l'effort théorique qui serait nécessaire pour produire un allongement égal à la longueur naturelle de la barre. Dans le cas d'efforts inférieurs à la limite d'élasticité, on a la relation:

— est l'effort qui agit sur chaque centimètre carré de la section, a

-p est l'allongement ou le raccourcissement de chaque centimètre

de longueur de la barre.