CHAPITRE IV

ce qui s’exprime en abrégé , quel que soit le nombre fini des subdivisions, decette mauière :

Si le nombre des divisions devient tellement grand et les arcs tellement petits qu’on puisse considérer les cordes comme se confondant avec les tangentes aux points successifs de la courbe, alors les valeurs successives de I peuvent être remplacées par celles de /’(x); l’erreur que l’on commet est d’autant moindre que les intervalles 5 sont plus petits , et devient aussi petite qu’on veut.

Si par exemple on fait en sorte que la différence entre chaque valeur de f (x) et celle de I correspondante soit moindre qu’un millionième de celle-ci, l’erreur commise est moindre qu’un millionième de la valeur totale 215.

On peut donc écrire

Y— • • /(X-S«,)S„3 ou , en faisant

afo-fa^OP^i, OP 3 =x 3 ..;

et par suite

L’usage est de représenter la notation du second

membre par celle autre beaucoup plus simple :

J Te

qui a la même signification et qu’il faut par conséquent interpréter en des termes équivalents à ceux-ci :

Limite de la somme qu’on obtient Ven mettant pour x dans l’expression f(x) une suite de valeurs X 0 , X,, x 2 , X j..., qui varient par degrés égaux ou inégaux mais très petits depuis X Q jusqu à une valeur X qui diffère très peu de X;

2° En multipliant les valeurs f(x 0 ), f(x,), f(xj , f(x„,), respectivement par les différences ( x 1— x o)* ( x 2— x t)* ( x 3— X 2 )"V (X — x„,), c’est-àdire chaque valeur de la fonction par la différence entre la valeur de x qui l'a produite et la valeur suivante de cette même variable ;

3 ° En ajoutant les il produits ainsi formés.

Plus le nombre n augmente , plus on approche de la vraie valeur représentée par la notation cidessus. Le résultat ainsi obtenu, étant considéré comme la quantité tout entière ( en latin integra ), dont f[x)dx exprime un élément infiniment petit, s’appelle pour celle raison f intégrale de f(x)dx. Les quantités x 0 , X, dont la signification est expliquée ci-dessus , déterminent les extrémités de f intégrale , ou les extrémités entre lesquelles la différentielle f[x)dxest intégrée.

CnAPITRE IV.

268. Il résulte de ces considérations que les intégrales peuvent avoir divers caractères :

1° Quand on donne

J x = f{*) OU dy=f(x).dx

et qu’il s’agit seulement de trouver une expression générale de y, c’est-à-dire de toutes les fonctions dont la dérivée est f(x) ou dont la différentielle est f(x) <£r, si l’on parvient à découvrir une fonction F(x) dont la dérivée F'(x) soit égale à f(x ), on a la réponse à la question en posant

Cette expression s’appelle F intégra le indéfinie de f(x) , et la relation qui existe entre elle et f(x) s’écrit ainsi :

JV(:r).rf* = F(*)-fC,

ce qui signifie simplement que si l’on différenliait F(x)-}-C par rapport à x on aurait f\x)dx.

Exemple : J' ax m dx = ~~pY~h C

2G9. 2° Lorsque, outre l’équation dy—f[x)dx , on sait que la fonction y prend une valeur déter-

minée y 0 pour une valeur également déterminée x 0 de la variable x , et qu’on demande en conséquence la valeur Y de la fonction pour une valeur quelconque X de la variable , en supposant toujours qu’on sache trouver une fonction F(x) dont la dérivée soit f(x) , la réponse est dans l’équation

Le second membre s’appelle Yinttgralc definie de f(x) dx prise depuis x 0 jusqu’à X; et la relation qui existe entre cette quantité et f(x) s’écrit ainsi:

F(,X) — F(x 0 )=z j ‘ f{x)dx ,

J Xo

notation dont on comprend l’origine et la signification , d’après les explications du n° 267.

270. Les considérations du n° 267 ne servent pas seulement à expliquer une notation , elles fournissent un théorème très important, savoir : Etant donné une fonction quelconque f (x) , « Von demande une autre quantité qui , d'après sa définition , puisse être représentée par la formule

lim [f(.r 0 )(x,—Xo)-\-f(x,)(x — ;»,)+• ... ) (X— x„, )] ,

ou plus simplement , mais avec la même interprétation