CHAPITRE IV

toutes les fois qu’il sera possible de trouver une quantité F(x) dont la dérivée serait f(x), on aura la réponse en posant

f X f(x)dx= F(X)-F(x 0 ).

271. Remarque. Une intégrale définie peut être négative, soit que, entre les deux extrémités de cette intégrale, la valeur moyenne de la dérivée f[x) soit négative; soit que x 0 , première valeur extrême de la variable, se trouve plus grande que la seconde X, auquel cas l’intégrale est la limite de la somme des produits des valeurs successives de la fonction , fx 0 ), /(x,),... f\x„,), multipliées par les différences négatives x, — x 0 , x 2 — x,,.... X — x„, ; et il est évident que le résultat ne diffère que par le signe de celui qu’on aurait en changeant l’ordre des valeurs extrêmes. C’est d’ailleurs ce qui se conclut immédiatement de la formule précédente , étendue à tous les cas possibles. On a, on désignant toujours par F(x) une fonction dont la dérivée est f[x)

f X f[x) dx—F (X) — F(x 0 ),

J Xo

et

«OTIONS DE CALCUL INTÉGRAI. 213

d’où

272. La quadrature des courbes offre une application très utile du théorème du n° 270.

Soit représentée dans la figure G9 la courbe ayant pour équation y=f(x). L’aire P 0 M 0 MP, bornée par deux ordonnées répondant aux abscisses j- 0 , X, est la limite de la somme des trapèzes P 0 M 0 M 1 P 1 , P, Mj’MjPj...., à mesure qu’on augmente le nombre des subdivisions P 0 P, , P,P 2 ,.... Cette limite est aussi celle de la somme des parallélogrammes P 0 M 0 N, P, , P, M, N 2 P 2 .... : car, à mesure que les ordonnées consécutives se rapprochent, le petit triangle qui fait la différence d’un trapèze au parallélogramme correspondant devient une fraction aussi petite qu’on veut du trapèze , et par conséquent la somme de tous les trapèzes ne diffère de la somme des parallélogrammes que d’une quantité qui est une fraction aussi petite qu’on veut de l’une ou de l’autre de ces deux sommes. Celles-ci ont donc la même limite. Donc l’aire P 0 M o MP, si les coordonnées sont rectangulaires , satisfait précisément à la définition de la quantité j f[x)d. r, et lui est par con- J Xo

séquent égale.

Si les axes coordonnés font l’angle a , on a la

surface