OP

2° Si l’on faisait j o = 0, on trouverait l’aire yOPM =oo .

3° Il est bon de se rappeler (228) que 2,302G n’est que la valeur approximative de

273. La cubature des solides terminés par des surfaces courbes est également du ressort du calcul intégral.

Soit Taxe Oj (fig. 72), situé d’une manière quelconque par rapport à un corps; soit MM 0 Am 0 w la courbe d’intersection par un plan passant par cet axe. La génération du corps étant soumise à une certaine loi , on suppose que l’aire de la section faite dans ce corps par tout plan tel que M 0 M 0 ', M M', perpendiculaire à l’axe, soit une fonction connue de l’abscisse x , distance du point fixe O au plan d’intersection. Cela posé, on demande le volume du segment compris entre les deux plans M 0 M' 0 , MM', dont les abscisses sont OP 0 =r 0 , OP = X.

Jic CHAPITRE IV.

Soil f(x) la fonction qui donne la valeur de Taire d’une section dont l'abscisse est x. La section faite par M 0 /»„ est f(x 0 ), celle par M/m et, si Ton partage l'intervalle P 0 P = X — x 0 en un grand nombre tt de parties; qu’on appelle j, , x 2 , x 3 ,... x„,, les abscisses des points de division; que, par ces points, P, , P 2 , P 3 on mène

des plans M, M',, M 2 M' 2 , MjM'j , qui donneront

des sections /(-O» f( x j) ^ est clair qu’on

aura une grande approximation du volume cherché en prenant la somme

qui, dans le cas de la ligure, est la somme des cylindres inscrits, dont chacun a pour base une section perpendiculaire à Taxe et pour hauteur la distance entre cette section et la suivante.

On voit , de plus, que Terreur commise pourra être une fraction aussi petite qu’on voudra du volume cherché, lequel est, par conséquent, la limite de la somme ci-dessus, ou

f fl*)'*-

276. Exemple. Corps de révolution engendré par Tare M 0 M (lîg. 73) , dont l’équation est y~ax « , tournant autour de Taxe O x.

Dans ce cas Taire d’une section quelconque est celle d’un cercle dont le rayon est y ; c’est donc r.y- OU -na 2 x 2 "’.

Donc le volume cherché est

Si l’on voulait le volume à compter de O, oa ferait x o =0.

Si OM 0 M était une ligne droite, m serait 1 , le corps un cône de révolution , et la formule deviendrait pour le volume , à compter du sommet,

tem 2 X 2 = t:Y 2 est la base, et X la hauteur.

277. En attendant que l’étude de la mécanique ait montré d’autres applications du calcul intégral, les exemples qui précèdent suffisent pour faire apercevoir son utilité.

La détermination d’une intégrale définie étant une conséquence immédiate de l’intégrale indéfinie désignée plus haut par F(.r)-j-C , c’est dans la recherche de celle-ci que consiste la difficulté des quadratures et des questions analogues.

§ 2. — Théorèmes principaux pour l’intégration