CHAPITRE IV

zcs, et l'on a

u=| f îM-î0 5 .+2 (y.+îO®.+ 2(y*+yj' î »+”*|<y..+Y)ï*+ ,!

formule qui se simplifie beaucoup si les intervalles 3 sont égaux :

u= [!(*<,+ ÏH y, +y,+y.+ +y.]a.

Exemple : Aire de la section transversale d’un cours d’eau.

501.2 9 Méthode d'approximation. Elle est fondée sur la quadrature exacte de la parabole du second degré dont l’axe principal est parallèle à l’axe ues ordonnées.

Soient trois points M 0 , M,, M (fig. 76), tellement situés que leurs ordonnées soient équidistantes. Ainsi PjPpPjP. Ces trois points suffisent pour déterminer une parabole, dont l’équation sera de la forme

y = a -|- bx -)- ex 2 .

Les coefficients «, b , c, pourraient être déterminés en fonction des ordonnées y 0 , y,, Y, et des abscisses X ; on peut donc demander l’aire P 0 Al 0 jMP en fonction des mêmes données.

On simplifiera le calcul en transportant l’origine des coordonnées au point P 0 . L’équation de la courbe devient alors de la forme

y=y o+ £'*'+ ex' 2 ,

ROTIONS DE CM. CUL INTEGRAL

et l’aire demandée est donnée par l’équation

\]=^ A \y 0 dx'^b'x'dx'^cx ,3 dx')p=y^-\~ OU

rXP

Il ne s’agit plus que de faire disparaître de cette formule les coefficients b’ et c , en y introduisant les ordonnées des points M,, M, qui doivent satisfaire à l’équation

y—y 0 + b 'x ,J rcx a .

Celles du point M, sont y, et — ; donc

yi=y 0 H — r +

Celles du point M sont Y et X'; donc Y=y 0 +A'X'+ c X' 2 ;

d’où l’on pourrait tirer les valeurs de A'X' et cX' 1 . Mais on arrive immédiatement au but en remarquant qu’on a

ïo+ 4 ï ,+ Y= 6 ( yo +f + ^). L’expression de U devient donc U=*(îvf4y,+V);

CllA PII RL IV.

ou, en remettant pour X' sa valeur (X — jt 0 ),

' U=!jX-x 0 )(y„+4y,+Y),

formule où l’on peut remplacer - (X — x 0 ) par - , en désignant par à la distance de deux ordonnées consécutives (*).

302. Ayant à calculer l’aire PqMqMP d’une courbe quelconque (fig. 78), on divisera l’intervalle P 0 P, ouX — x 0 ; en un nombre pair « de parties égales, et, en désignant par y 0 , y,, y 2 y„., Y, les coor-

données consécutives, on aura approximativement l’aire comprise entre les ordonnées y 0 et y 2 , dontla distance est ou — ^ ,

aire P 0 M 2 =^~ (y 0 +4y,+ y2 ).

De même , entre y 2 et y, ,

aire V 2 ^=^^{y 2 -\-h yi -\-y,).

(*) Lorsque les ordonnées y., y„ Y, sont données graphiquement, cl non en nombres, on peut aisément, comme l’a remarqué M. Poncelet, remplacer la longueur Y P ar unc ,i E ne< le la figure. Joignant M, et M

par unc droite (fig. Tî), on a

P,N=.^(ÿ„+Y)=ÿ,+M,N, d’où y.-fY«=îÿr+3M,N.

donc

U=»l(X-*.)(6y 1 +SM,N)=(X-x.Hy.+ 7 M.N) ou U->P.PXl\K, t) ï>

le point K étant au tiers de la flèche W,N, ü partir de la courbe.

Enfin , entre y„ et Y,

aire P„,M = (y^+V^.+Y).

Donc l’aire totale P 0 M 0 MP ou

x y<lx= -j^- ! (Fo+ûy l +2y,+4y 3 +2y 4 -f...4-ùy„ ,+Y) ou bien

J Xo

ydx= — - — -(y»+ li ’+4(yi4-î/3+"'y'‘-‘)4- 2 0/.+!/i'^'”ÿ''- 1 )» 3 n

formules où l’on peut remplacer — “ par ^ , en

OU o

désignant par 5 la distance constante de deux ordonnées consécutives.

505. La seconde méthode est due à Thomas Simpson. Pour que le résultat soit suffisamment exact il faut que la courbe ne diffère pas trop d’une parabole du second degré , et que, par conséquent, les différences des ordonnées consécutives soient à peu près en progression arithmétique.

504. Les élèves sont invités à vérifier que, si l’on désigne par y 0 , y,, y 2 , Y, quatre ordonnées équidistantes d’une parabole du 3° degré , on a l’aire de cette courbe

U= r X ,jJx= | (X-xJ (y„+3y,+3y ; +V).

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