CHAPITRE V

inc totale de ces éléments multipliée par la distance de ce point à un plan quelconque est égal au moment du système , c’est-à-dire à la somme des moments élémentaires par rapport au même plan .

Ce point s’appelle le centre de gravité du système. Démonstration. Soient deux éléments, don! les grandeurs sont m\ m", occupant les positions M', M' (lig. 80).

1° Leur centre de gravité ne peut être que sur la droite M’M': car, autrement, le moment du système de ces deux éléments pourrait être nul sans que la somme des moments élémentaires le fût.

2° Soit G' le centre de gravité encore inconnu . Si on abaisse sur un plan quelconque les perpendiculaires M'B', M’B', G"C, désignées par x , x ”, X", il faut démontrer que le point G" peut être choisi de manière que l’on ait

ou

Si l’on mène N'N" parallèle à B'B”, on a

Ainsi, pour que le point G' jouisse de la propriété énoncée , il faut et il suffît que l’on ait

ce qui revient à

NEUTRES DE GRVTITÉ.

c'est-à-dire que le centre de gravité de deux éléments est sur la droite qui joint ces deux éléments, et la partage en deux parties réciproquement proportionnelles auxgrandeurs des deux éléments.

Le point G" étant ainsi déterminé , l'équation

a lieu , quelle que soit la situation du plan de comparaison, pourvu qu’on ait égard aux signes des ordonnées x', x " 0 X".

Cette première partie de la démonstration s'applique exactement à deux systèmes dont les grandeurs seraient m', m", et dont les centres de gravité seraient en M', M". Le point G" déterminé comme on vient de le dire , c’est-à-dire situé sur la droite qui joint les deux centres de gravité M', M", et la partageant en deux parties réciproquement proportionnelles aux grandeurs des deux systèmes, serait le centre de gravité de l’ensemble de ces deux systèmes.

Soient trois éléments m', m ”, m"\ occupant les positions M', M", M'". On peut partager l’ensemble de ces trois éléments en deux parties , dont l’une soit formée du système des deux éléments m', m ”, l’autre sera l’élément m’". Donc, d’après la remarque qui précède, le centre de gravité du système total est sur la droite qui joint le centre de gravité G* des deux premiers éléments à la position M”' du troisième , et il partage celle droite on deux

C1UPITRK V.

parties réciproquement proportionnelles aux grandeurs wj'-j-m*, et m'".

Cette démonstration , qui s’étend facilement à un nombre quelconque de points, prouve l’existence du centre de gravité tel qu’il a été défini, et indique le procédé graphique pour le trouver.