chapitre v

distance entre M»i et M’m'. Le volume engendré par MM'mm' sera

n(R 2 — r 2 )rf.r=jr(R-j- r)(R — r) dx.

Or (R — r)dx est Paire du trapèze MM'mwt’; soit a celte aire. De plus estPordonnée gV du cenire de gravité de celte aire, sauf une différence de plus en plus négligeable à mesure que dy diminue; soit y cette ordonnée. Le volume élémentaire considéré est 2 ray , c’est-à-dire 2v multipliant le moment ny de la surface élémentaire a par rapport «à l’axe KL. Donc, en désignant par A Paire totale AMBm et par Y la distance de son centre gravité à l’axe KL , on a le volume décrit

V = ‘Ir.lay— 2réV . A ,

égal à Faire de la surface génératrice multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité. Même modification que ci-dessus si la révolution n’est pas entière.

Ces deux propositions constituent ce qu’on appelle Théorème de Guldin.

§ 6. — Ratons de giration des corps géométriques.

543. Si l’on partage un corps géométrique en éléments dont les volumes soient u", et

dont les distances à un axe soient r 1 , r", r"'...., la somme wV 2 -f- kV' 2 -{- u'"r"' 2 -\- des produits

HAYONS DE GIRATION. 263

qu'on obtiendrait en multipliant le volume de chaque élément par le carré de sa distance à Taxe est d’une grande importance en Mécanique dans les questions relatives au mouvement de rotation d’un corps solide homogène autour d’un axe üxe auquel aboutissent les distances r.

Cette somme, que nousreprésen tons pariwr 2 , et qui dépend non seulement de la figure et de l’étendue du corps, mais encore de la position de l’axe autour duquel ce corps tourne, peut toujours être égalée au produit du volume total lu par le carré H 2 d’une certaine distance R comprise entre la plus petite et la plus grande des valeurs de r. Cette distance qui satisfait à l’équation

lur t = IVlu

s’appelle le rayon de giration du corps dont il s’agit par rapport à r axe considéré. Sa détermination est du ressort du calcul intégral. Dans les exemples qui suivent nous calculerons son carré , qui entre le plus souvent dans les formules de la Mécanique.

544. Carré du rayon de giration d’une harre droite AB, d’une longueur /, et d’une très petite section a par rapport à Taxe A y, qui fait avec AB l’angle « (fig. 102).

Soit

AP = .r, PP'=«£r, PQ = r=.r sin*.

On a

ti—adx j

CUAF1TRE V.

asin 2 «. x 2 rfj=«siii-a

lu=.al ;

d’où

R 2 =| tt>in 2 «=iBC 2 .

345. Carré du rayon de giration d'une portion <ï anneau circulaire AB, d’une très petite section a, par rapport au rayon AO (fîg. 103).

AB = S, MM '=*, PP'=rf*, MP=y, AO = P ;

2«r 2 = J' ads .y 2 ; ds : dx : : p : y ;

ï.ur L =.ay J' ydx.

J ydx = aire du segment ABC=^ P S — * p 2 sinaCOSat j donc

lutrzxz^aç 1 — *psin 2«^- D’ailleurs Iu=aS ; donc

R -|p i ( 1 -îl sin2 4

Pour un quart de circonférence on a

sin2* = 0; R 2 =* P 2 .

Il en est de même pour une demi-circonférence, et pour une circonférence entière.

KAY OMS DK GlHATIOfl.

540 . Rayon de giration d'un disque circulaire très mince tournant autour d’un diamètre AB (fig. 104). Soient son rayon OA =p, son épaisseur = b. Pour l'anneau élémentaire dont le rayon OM est \ et la largeur//?, la quantité lur 2 serait, d’après le n° précédent ,

donc pour le disque on a

2ur=z-b ?dï = ±T:b p\

2w=.^p 2 A; donc R 2 =~ p 2 .

Autrement. Prenons pour axe des y la droite AB par rapport à laquelle on cherche le rayon de giration du disque, et traçons dans le plan du disque l’axe 0.r rectangulaire sur AB.

Appelant x et y les coordonnées d’un élément du disque , la quantité lur 2 prise par rapport à un diamètre quelconque sera exprimée à volonté soit par lux 2 , soit par luy 2 . On a donc

lurhxilux 2 et lurhxzluy 2 ;

d’où, en ajoutant et appelant 5 la distance d’un élément quelconque au centre O , on tire

2ur 2 =^lu(x 2 -\- y 2 ) ou