CHAPITRE V
ABC (fig. 1 07) par rapport au diamètre AO perpendiculaire à la base. Rayon OA=p; flèche AK=a.
Pour une tranche élémentaireon aurait (347)
Or
d’où
lut^xz: * r.y'dx.
y 2 =2px— y* = 4p 2 x 2 — 4 px 3 -j-x 4 .
Donc pour le segment sphérique on a 2 M r 2 =|ir (üpV— ùpx 3 4-x 4 )</x=Î7rQ P 2 a 3 — f a 4 -f
Quant au volume , il est U= :J\ry 2 rfx= ir J^px— x 2 )</x=7r(pa 2 — j'j ; d’où
2 lur 2 n 20, a 2 — 15an-f 3a 2
R — “O - — ÎÔ- 3a -«
Pour une demi-sphère on a
La même formule s’applique à la sphère entière.
551 . Hayon de giration d'une calotte sphérique très mince ABC par rapport au diamètre AO. Même figure, mêmes données; épaisseur =b.
RAYORS DE GIRATION.
Pour une zone élémentaire on aurait
2ur—2.T.çdx .by 2 ou
27rp4(2px — x 2 )dx;
donc pour la calotte on a
2«r 2 =2jrpAj' (2px — x 2 )dx=z2npb ^a 2 p — ^ . D’ailleurs le volume
U = 2-pa . b ;
donc
Pour l’hémisphère on a
o=p, R 2 = jp 2 .
La même formule a lieu pour une couche sphérique entière.
552. Hayon de giration d'un corps géométrique quelconque. Soit O (fig. 108) la projection de l’axe de rotation: soient Ox, O y, des axes coordonnés rectangulaires ; u le volume élémentaire dont la position a pour ordonnées x , y. On a
ut^zxzu (a^-j-y 2 ).
Donc pour le corps entier :
2 ur 2 =2 ux 2 -j - 2 uy 2 ;
chacune de ces deux dernières sommes se calcule séparément.
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CF1AMTRE V,
Soit le solide divisé en tranches comprises entre des plans infiniment voisins perpendiculaires à Taxe des x. L’aire variable ou constante de la section faite par un de ces plans étant désignée par A, et l’épaisseur de la tranche correspondante étant dx , son volume est kdx\ et comme tous ses éléments ont la même abscisse x , la quantité A dx .x 2 sera la valeur de lux 2 pour toute la trauche. On a donc pour le corps entier
lux 1 — J' kx 2 dx ,
intégrale dont le calcul exact ou approximatif dépendra de l’expression A.
De même, en représentant par B l’aire d’une quelconque des sections faites par les plans perpendiculaires à l’axe des y, on aura
donc
luy 2 = j B y-dy ;
355. Hayon de giration d’un parai le Iip ipêde rectangle , dont les trois arêtes contiguës sont a, />, c, par rapport à l’arête c (fig. 109).
A = Ac, B = «c,
l kx 2 dx = bc . y ;
J 1 hy 2 dy=a C . j j
BAÏOSS DE G1BATIOÎ*. 261
donc
lur= J abc(a 2 ~t-b z ).
De plus le volume
Zu = abc, donc R 2 =^(« 2 4-i 2 ).
534. Si l’axe de rotation parallèle au côté c passe par le milieu d’une face ayant Z* et c pour côtés, le rayon de giration est le même qu’il serait pour chaque moitié du corps coupé par un plan passant par cet axe. Donc il faut remplacer b par \b dans la formule précédente , et l’on a
333. Si l’axe parallèle au côté c passe par le centre de figure , on voit par un raisonnement analogue qu’il faut remplacer a et b par ; a et ^ b dans la formule du n° 353 : on a
336. Hayon de giration d'un ellipsoïde par rapport à un de ses trois diamètres principaux. Les demi diamètres ont pour longueurs a, Z», c(fîg. 1 10); OK=a, OL=A; le demi-diamètre c se projette en O.
La section par un plan PM perpendiculaire aux x est une ellipse dont les demi-diamètres étant y
