CHAPITRE

jff

* 3° Expression d’un angle positif ou négatif par ses ligne* trigonometriques.

52. La théorie des projections ou des coordonnées fournit d’autres moyens d’exprimer la direction d’une droite dans un plan.

Soient (fig. 7)

0.r, Oy, deux axes faisant un angle droit positif; Ok une droite partantde l’origine O, et faisant avec Ot un angle quelconque a positif ou négatif; A.M l’arc supposé décrit par un point quelconque d’une droite mobile qui, partant de la position Ox, parcourrait l’espace angulaire a. pour prendre la position Ow; r le rayon OA ou OM de cet arc ; x, y , les coordonnées rectangulaires positives ou négatives du point M, tandis que r est une distance essentiellement positive , parce qu’elle est portée sur la partie positive de la droite génératrice de l’angle.

Il est aisé de voir que la direction de la droite 0« sera déterminée, si l’on connaît les signes des coordonnées x, y , et l’un quelconque des rapports que les valeurs absolues des trois quantités x , y , r, ont entre elles, sans qu’il soit nécessaire d’avoir les valeurs absolues.

De là on a été conduit à considérer les rapports algébriques, c’est-à-dire positifs ou négatifs , que les quantités .r, y, r, ont entre elles. Ces rapports

TRIGONOMÉTRIE

sont au nombre de six , et ont reçu des noms particuliers.

Le rapport algébrique ^ de l' ordonnée y au rayonv , rapport qui a le même signe que l’ordonne'e y , s’appelle le sinus de P angle « , en désignant , nous le répétons, par « l’un quelconque des angles, positifs ou négatifs , plus petits ou plus grands que quatre droits , que fait avec Taxe Ox la droite joignant l’origine O avec le point M , dont les coordonnées rectangulaires, positives ou négatives, sont y et x.

Le rapport algébrique - de P abscisse x au rayon r,

rapport de même signe que l’abscisse x, s'appelle cosinus de P angle oc.

Le rapport algébrique | de P ordonnée y à P abscisse x, rapport positif ou négatif, selon que les deux coordonnées ont le meme signe ou des signes contraires, s’appelle tangente de l’angle oc.

On appelle cotangente de Pangle oc le rapport -t inverse de la tangente, et de même signe.

On appelle sécante de Pangle oc le rapport -, inverse du cosinus et par conséquent de même signe.

On appelle cosécante de Pangle oc le rapport - ,

inverse du sinus et par conséquent de même signe.

On écrit en abrégé

sin«=^; eos«=*; tanga=|-

cosécst=r-; séc * colangs:=--

J TC * y

22 CHAPITRE I ,r .

L’angle a. étant formé par la droite Ow avec l’axe Ox, il nous arrivera souvent de le désigner par la notation («, x); et les six formules précédentes s’écriront ainsi :

sin(w, x)=^; cos(«,x)=*; tang(w,x)= jj-,

coséc(w,x)=^; séc(w, x)=^; cotang(w, x) = ^

55. Voici l’origine des dénominations des six rapports que nous venons de considérer.

Le mot sinus , ou plutôt son abrégé sin, est formé des initiales du latin semi-inscripta, demi-inscrite ou demi-corde, parce que l’ordonnée y est effectivement la moitié d’une corde dans le cercle dont r est le rayon ; et, si l’on suppose que la longueur r soit prise égale à une unité linéaire , l’ordonnée y aura précisément la même expression que le sinus de l’angle a.

Le nom de tangente donné au rapport ^ vient

de ce qu’il est aussi le rapport ou ~ (fig.7) ayant pour antécédent l’ordonnée positive ou négative de l’intersection N de la droite 0« avec la tangente en A, origine des arcs; et si l’on fait r= 1 , il en résulte tang«= AN.

Le nom de sécante vient de ce que le rapport est aussi le rapport de la droite ON au rayon OA ;

TRIGOHOHÉTRIE.

et si l’on fait r = 1 , on a

séc«=ON,

portion de sécante comprise sur le second côté de l’angle , entre le centre et la tangente en A.

Enfin les mots cosinus , cotangente , cosécante , signifient sinus , tangente , sécante , du complément de l’angle dont il s’agit ; ce qu’il est facile de justifier lorsque l’angle « est aigu et positif.

C’est d’après ces considérations que les six rapports dont il s’agit s’appellent en général les lignes trigonométriqucs de l’angle a.

Ces étymologies peuvent aider à retenir les noms des lignes trigononiétriques et à retrouver leur signification; mais, dans les démonstrations et les applications, nous nous appuierons sur les définitions rigoureuses et générales du n° 32.

34. Les ingénieurs désignent quelquefois des angles par leurs sinus ou leurs tangentes , qui en donnent une idée plus nette que l’expression en degrés.

Le fruit d’un mur, la hase d’un talus par unité de hauteur , sont les tangentes d’angles avec la verticale; la pente d’une route, exprimée en hauteur par mètres de longueur, est le sinus ou la tangente de l’angle à l’horizon , selon que la longueur est mesurée parallèlement à la route ou parallèlement à l’horizon; distinction d’ailleurs indifférente dans les cas ordinaires, parce que le sinus et la tangente