CHAPITRE I er

42. Ces trois cosinus ne peuvent pas être pris arbitrairement. En effet, on a entre les coordonnées rectangulaires x , z , du point M , la relation (19)

qui, en y substituant les valeurs du numéro précédent , devient

cos J (w, x)-|-cos 2 (k, y)— j— cos 2 (m, *)= 1 .

Cette équation exprime un théorème qu’il importe de retenir.

On en déduit cette conséquence que , lorsque l’on se donne les cosinus des angles qu’une droite Ou fait avec deux des axes coordonnés rectangulaires, il ne reste d’indéterminé que le signe du cosinus de son angle avec le troisième axe.

43. Remarque. Donner le cosinus de l'angle qu’une droite fait avec un axe, c’est faire connaître une nappe de surface conique de révolution sur laquelle se trouve cette droite. Si l’on donne deux cosinus relatifs à deux axes différents , la droite est l'une des deux génératrices d’intersection de deux nappes coniques déterminées; il suffit, pour compléter la détermination de la droite, de savoir si l’angle qu’elle fait avec le troisième

TRIGONOMÉTRIE

axe est aigu ou obtus , et c’est ce qu’apprend le signe de son cosinus.

§ 3. — Expressions trigonométriques des Projections

ORTHOGONALES d’üNE DROITE OU d'un CONTOUR POLY- GONAL SUR UN AXE.

44. Soient deux axes coordonnés rectangulaires 0.r, O y, (fig.tl) et soient, dans le même plan, deux points M', M', dont les coordonnées sont x', y', x\ y". Les projections x" — x', y*—ÿ, delà droite M 'M', peuvent être exprimées en fonction de la longueur M'M', et de l’angle que celte droite, prise dans le sens MM", fait avec Ox.

En effet, si l’on mène M'X et M'Y, parallèles à Ox et O y, et de même sens, les coordonnées X, Y, du point M, par rapport à ces nouveaux axes rectangulaires, seront des mômes grandeurs et des mêmes signes que les projections x" — x', y" — y', et l’angle de M'M' avec M'X sera de même grandeur et de même signe qu’avec Ox. Or, par les définitions du n° 32, on a , en faisant M'M'=w,

X=mcos(m, X), Y=Msin(«, X).

Donc, si l’on représente par (m, x) l’angle que la droite M'M' fait avec l’angle des x, on a pour les projections orthogonales de M'M"

x’ — x'=mcos(w, x), y" — y'~ u sin(«, x).

On remarquera que , dans ces formules, les