CHAPITRE

lettres x% x', y\ y\ des premiers membres, représentent des longueurs affectées de signes : la lettre w, hors de la parenthèse, est une longueur seulement; les lettres «elx, dans la parenthèse , désignent la droite M’M’ et l'axe de projection , considérés quant à leurs directions.

45. La formule x " — x'=:kcos(m, x) est également vraie pour la projection orthogonale d’une droite sur un axe Ox qui ne serait pas dans un même plan avec la droite , pourvu que par l 'angle des deux droites quelconques dans P espace oïl entende X angle qu’on obtient en faisant partir d’un point quelconque deux côtés parallèles à ces droites , et de même sens qu’elles.

En effet, la projection orthogonale P'P''(fig. 12) de la droite M'M"sur l’axe Ox s’obtient en menant par M' et M" deux plans M'C'P', M''C"P", perpendiculaires à Ox, et le rencontrant en P' et P". Si, par M', on mène M'X parallèle àOx, et de même sens, a projection M'N ou X, de M'M", sur ce nouvel laxe, sera de même longueur et de même signe que P'P", puisque ce sont deux parallèles de même sens comprises entre deux plans parallèles. Or, la ligne projetante M "N étant perpendiculaire à M'N, on a, comme au numéro précédent,

M'N ou X= « cos (m, X),

donc

x" — x — «COS(m, x);

THIÙOflOMÉTRIE.

c’est-à-dire que la projection orthogonale d'une droite sur un axe quelconque est égale (même grandeur et même signe) au produit de la longueur de cette droite par le cosinus de l’angle qu’elle fait avec l’axe.

4G. De eetle proposition, et de celle du n° 22, on tire la conséquence suivante , dont nous ferons un fréquent usage:

Théorème. Si un chemin polygonal M

conduit du point M' au point M, la somme algébrique des produits des chemins rectilignes partiels MM", M"M" ..., ?nultipliés chacun par le cosi-

nus de r angle qu’il forme avec un axe quelconque , est égale à la projection du chemin direct M M sur le même axe.

La formule qui renferme ce théorème est

x — x' = 11' cos («', aO-f-H'cos(H", a-)-(-it' r cos(u w , r)....

et s’exprime en abrégé par

x — x'— 2 u cos ( u , x) ,

en remplaçant par la notation 2 le mot somme appliqué à une suite de termes semblables , et en désignant par u chacun des côtés du contour, dont l’angle (m, x ) avec l’axe doit être pris en ayant égard au sens dans lequel ce côté est décrit.