CHAPITRE

projections d’une droite u sur trois axes coordonnés rectangulaires, donne

x x'~ u COS (u, x"), y" — y'=MCOS (tt, y), s" — * — U COS («, z) .

En y joignant l’équation du n° 24

on voit qu’il suffit de connaître les longueurs et les signes des trois projections x" — x', y" — y', z" — z\ pour en conclure la longueur «, puis les grondeurs des trois cosinus , qui ont d’ailleurs les mêmes signes que les projections.

40. Problème. Connaissant les coordonnées X, y, z, d’un point M relativement à trois axes coordonnes quelconques Ox, Oy, Oz, trouver l’abscisse orthogonah X du meme point , comptée à partir de la même origine O, sur un axe OX , faisant , avec les trois axes coordonnés , des angles connus.

L’abscisse x et deux parallèles aux coordonnées y, s, forment un chemin polygonal conduisant de l’origine O au point M (14), et la somme algébrique de leurs projections orthogonales sur OX est égale à X, projection de OM sur le même axe (22). D’après cela, supposant les coordonnées x, y, z, positives , on a (46)

X=xcos(x, X) -[-y cos (y, X)-f--eos(i, X), les parenthèses indiquant les angles du nouvel

TRIGONOMÉTRIE

axe OX, pris flans son sens positif, avec les trois coordonnées, ou, ce qui est ici la même chose, avec les trois axes coordonnes, pris dans leur sens positif. Maintenant, si l’une des coordonnées x, par exemple, était négative, il estclairque sa projection devrait avoir un signe contraire à celui qu’elle aurait eu dans la première hypothèse ; or il suffit, pour cela, dans le produit .vcos(j-, X), de donner à la valeur particulière de .r, premier facteur de ce produit, le signe qui lui appartient d après son sens , et d’entendre toujours par la notation (x, X) l’angle des axes Or, OX , donné d’après l’énoncé de la question.

49. Problème. Connaissant les angles que deux droites ou leurs parallèles de tnè/nesens OX, OY, font avec trois axes rectangulaires Ox , Oy, Oz , trouver l'angle (X, Y) des deux droites entre elles.

Sur la partie positive de la droite OY prenons une longueur OM désignée par Y; sa projection orthogonale, ou l’abscisse du point M sur la droite OX, sera

X=Ycos(X, Y),

et les coordonnées r, y, z,du même point M, seront *=Ycos(Y, .r), y=Ycos(Y, y), ; *=Ycos(Y, z).

La substitution de ces expressions dans l’équation du numéro précédent donne, en supprimant le facteur Y,

cos (X, V) = COS (X, x) cos (Y ,r) -f cos'X, y) cos (V, y)-f cos (X, z)cos(Y, j).