CHAPITRE l ,r
55. Problème. Trouver les relations qui existent entre les sinus et cosinus de deux angles a. , et ceux de leur somme A —a -j-a'.
(Les angles ne sont pas d’abord supposés pouvoir devenir négatifs.)
Soient (Gg. \ 4 et 1 5)
XOx=«, xOM=« r , 031=/-;
Soient les axes 0 y et OY, respectivement perpendiculaires à Ox, OX.
Coordonnées de M
par rapport à OX, OY, » à Ox, Oy,
\=.r sin A.
X=rcos A.
y =rsin x =rcosB r .
D’après la formule du n° 48, en y faisant z = 0, et remarquant que l’ordonnce Y et aussi une abscisse sur l’axe OY, on a
Y=x cos (x, Y) -f-y cos (y, Y) 1 X=xcos (x, X)-f-ycos(x, X) l’-
on a également , en exprimant x et y en fonction des coordonnées X, Y,
y=Xcos(y, X)-|-Ycos(y,l) j„ x=Xcos (y, X)-}-Y cos(x-X) j
Or
cos(xX)=cosa, cos (xY)=sin«,
soit que, comme dans le cas de la fig. 14, « soit plus petit que 90° (n° 53, \° ), ou qu’il soit plus
TRIGONOMÉTRIE
grand, comme dans la fig. 1 5 , auquel cas a excède l’angle (*Y) de 90° (53, 2°). De plus,
cos(y, X) = — sin«,
car l’angle (y, X) excède a de 90°. EnOn
COS (y, Y) = COS (xX) = COS a •
Substituant dans les équations [1] et [2] ces valeurs, ainsi que celles des coordonnées, et supprimant le facteur r, on trouve
sinA= cosa'sina-f-sina'cosa COSA= COSa'COSa — silla'sina sina — • — cosAsina-j-sinAcosa COSa'= C0SAC0Sa-{~sinAsin a
On remarque que les équations [4] sont implicitement renfermées dans les équations [3], et s’en déduiraient par le procédé ordinaire de l’élimination , en ayant égard à la relation
COS J a-f-sin 2 a=1 .
56. Si, dans les équations [3], on remplace a , a', para, 4, ce qui permet de remplacer A par a-f -4, elles deviennent
sin(a-j-4)=sinacos b -j-cosasinZ»
cos(a-{-i)=cosacos4 — sinasini
Si , dans les équations [4], on remplace A, a,
cjiapithe i".
para, A, ce qui permet de remplacer «' par a — h, elles deviennent
sin(« — /;)=sinacosi — cosasinA cos(a — A)=cosa cos b-\- sinasin b
Ces formules se résument ainsi :
sin (art b) = sin a cos b rt cos a sin h , cos (art b) — cosa cos /yfJJRin a si n b.
Les formules [5] et [6] rentrent les unes dans les autres par le changement de signe de l'angle b (51); il est d’ailleurs aisé de voir qu’on peut y changer à la fois les signes de « et de b ; donc chacune de ces formules est démontrée dans toute sa généralité.
