Nous avons dit (36) que l’on possède des ta

CÎÎVPITRB 1*'.

hk

blés qui font connaître, au degré d’approximation désirable, les lignes trigonométriques d’un angle aigu quelconque. Ces tables ont été calculées par des méthodes ingénieuses et savantes qu’on peut étudier dans les ouvrages spéciaux sur cette matière. Il nous suffit de faire comprendre ici la possibilité d’arriver aux mêmes résultats à l’aide des formules qui viennent d’être démontrées.

Nous remarquerons d’abord que, lorsqu’un angle est très petit, l’arc qui, ayant pour rayon l’unité, lui sert de mesure , est sensiblement égal à son sinus; ce qui signifie que, si Ton fait décroître indéfiniment l’angle , le rapport de Parc au sinus approche autant qu’on vêtit de V unité.

En effet, si l’on suppose dans la fig. 7 le rayon OA =1, l’ordonnée MP et la tangente AN auront précisément pour expressions celles de sina et de tanga (33) ; et si l’on compare l’arc AM à l’ordonnée MP, et l’aire du secteur OAM à celle du IriangleOAD, on établira les inégalités suivantes :

1° MP<cordeAM< arc AM ,

d’où

sina<arca;

donc

SID a

2° secteur OAM < triangle O AN,

\ O A X arc «< \ OA X tanga,

d’où (39)

TRIGONOMÉTRIE

ar c « • •

Ainsi le rapport est toujours compris entre 1 et — — . Or, à mesure qu’on fait diminuer a, le

COS a

nombre quoique toujours supérieur à l’unité , en approche autant qu’on veut. Donc il en est de même du rapport > et c’est ce qu’on exprime en disant que ce rapport, quand l’angle a décroît, a pour limite l’unité.

On prouverait avec la même facilité que le rapport », quand l’angle « devient de plus en plus petit , a aussi pour limite l’unité ; proposition qui nous servira dans la suite de ces leçons.

Nous allons maintenant démontrer que la différence entre l’arc et lésinas d’un même angle est moindre que le quart du cube de l’arc.

En effet on a (57)

sm« = 2sin 5 acos

Multipliant cette équation par l’inégalité précédemment démontrée

sin-« >arc - a cos - a,