CHAPITRE I
en désignant parmi les angles connus l'angle A opposé à ce côté.
Du sommet C abaissons (fig. 16) la perpendiculaire A sur le côte opposé c , et, soit que les angles A et B soient aigus, ou que l’un d’eux soit obtus , nous aurons
A=asinB, A = AsinA,
d’où
, a sin B /> = —. — .
Sll) A
L’équation générale démontre ce théo-
iikme : Dans un triangle rectiligne quelconque , les sinus des angles sont proportionnels aux côtés opposés.
66. 2* cas. On donne deux côtés, a et 1), et Y angle A, opposé à P un d'eux , a.
D’après le théorème précédent, on a
sin B =
A sin A
puis
C= 1 80" — (A -f-B) et c —
Au plus petit des deux côtés a , b , est opposé le plus petit des deux angles A, B. Donc , si a > A, B est aigu, son sinus suffit pour le déterminer; il y a toujours une solution.
Sia<A, l’angle A donné (fig. 17) est aigu; B peut être aigu ou obtus pour le même sinus-
TRIGONOMÉTRIE
El
Donc il y a deux solutions , pourvu qu’on trouve
. n | b SU! A a
stnB<1 ou — - — <1,
oua>AsinA, c’est-à-dire a>h.
Si l’on demandait immédiatement le côté c, il faudrait poser
c— AD±DB=2>cos A±l/ « 2 — b 2 sin 2 À.
67. 3 e cas. On donne deux côtés , a, b, et V angle compris C.
1 ° On demande à priori le côté c.
Soient x et y les coordonnées rectangulaires du point B (lig. 18), en prenant CA pour axe des x et C pour origine, x est négative si l’angle est obtus. Dans tous les cas on a
ch=.y 2 -\-(b — x ) 2 , ÿ 2 = a 2 — x 2 , x—aCOsC.
Les deux premières équations , ajoutées membre à membre , donnent la relation connue en géométrie élémentaire
éx=i a 2 - j- b 2 — 2 bx ;
et, en y substituant l’expression de x, on a c 2 =a 2 -j-,6 1 — 2aZ>cosC.
c étant ainsi déterminé , on rentre dans le premier cas (65).
2° On peut déterminer à priori l’angle A par sa
52 CHAPITRE I er .
tangente. Soit que C soit aigu ou obtus, et quelle que soit aussi la grandeur de A, on a
RD . nsinC tan s L)Â b — rtCOsC
La grandeur et le signe de tangA faisant connaître A, et, par suite , B, on rentre dans le premier cas (65), et Ton calcule c par l’une des deux formules suivantes
asinC b sin C
c sin .Y ’ C sin B
11 est bon de vérifier si les angles A, B, trouvés, satisfont à la condition (65)
sin A sin B
3° Autre solution, plus propre à l’emploi des logarithmes.
C fait connaître A-f-B; on cherche A — B.
De la relation
sin A a
sin B b
on conclut
sin A'-}- s ' n R o -y b
sinA — sinB a — b'
Donc , d’après la dernière équation du n # 59 , on a , „ , .
iangl(A-|-B) a-\-b
iangjj(A — B) a — A*
d’où l’on tire
t»ng^(A — B).
TRIGONOMÉTRIE
Connaissant
i(A+B) = » 0 et I(A-B) = n",
on aura
et on achèvera comme clans la deuxième méthode. G8. 4 e cas. On donne les trois côtes.
La formule démontrée au commencement du numéro précédent donne
a 2 —b 2 -\- c 2 — 2 bc COS A; soit que l’angle A soit aigu ou obtus. Donc
cos À:
J> 2 -\-c 2 — a 2 'Ibc
Pour remplacer cette formule par une autre plus propre à l’emploi des logarithmes , on remarque que le dénominateur 2 bc. formerait, avec b 2 -\-c 2 du numérateur, un carré exact, ce qui conduit à combiner cos A avec l’unité par addition ou soustraction. Or l’une des formules du n° 57 donne
2 sin 2 «= 1 — cos 2« ;
donc, en faisant «=* A,
2sin 2 |A=1 — cosA—\-^ c [- n2 = ^Z<t^ï
2 ‘■ibc : ibc
sin ‘ A = J 1/ («+*- C )(„4. c -A).
