Toute ligne droite rapportée à deux axes coor

donnés faisant un angle quelconque est exprimée par une équation du premier degré , qui appartient à tous ses points et n’appartient à aucun autre.

Pour le démontrer, considérons d’abord des cas particuliers.

1° Si la droite se confond avec T un des axes ou lui est parallèle y t équation ne contient qu’une variable.

En effet, l’équation x=0 appartient exclusivement à tous les points de l’axe des y, et l’équation x=c à ceux d’une parallèle à l’axe des y.

2° Si la droite passe par P origine y son équation est de la forme y — ax , le coëffieient a étant un nombre abstrait affecté de l’un des signes -f- ou — .

En effet, soient sur cette droite des points quelconques 3P, M", M'", dont les coordonnées sont

x’, y'; y"; x’", y"' : il est évident qu’on a ,

quels que soient les signes de ces coordonnées ,

at x" x'"

C’est ce qu’on exprime en disant que le rapport | est constant, et en posant l’équation y=ax.

Le coefficient a est un nombre abstrait positif lorsque la droite divise l’angle xOy et son opposé ; il est négatif quand elle divise les deux autres angles des axes coordonnés.

Si les axes ,Ox, Oy, font l’angle 9 , et que la droite M'M"... fasse avec Ox l'angle «, il est aisé

de voir (65) qu’on a

y siiig

x sin(0 - u ) a '

Si les axes Ox, Oy, sont rectangulaires, le rapport a est simplement égal «à tanga ; nous l’appellerons , pour abréger, Y inclinaison de la droite sur l’axe des x; son inverse ^ est l’inclinaison de la droite sur l’axe des y.

Les coordonnées x, y, considérées comme appartenant successivement à divers points d’une droite passant par l’origine, sont, dans tous les cas, des variables directement proportionnelles, môme lorsqu’elles sont de signes contraires.

;i ° Si la droite n’est ni parallèle à un axe ni passant par r orÿine , son équation est de la forme y~ax-\-b , la constante a ayant la même nature abstraite et la même valeur en fonction des angles que dans le cas precedent, et b étant une longueur affectée d un signe -J- ou — , qu’on appelle Y ordonnée d l’origine.

Cela devient évident en traçant par l’origine une droite parallèle à celle dont il s’agit, et en remarquant que, pour une même abscisse, les coordonnées des deux droites diffèrent entre elles d’une longueur constante.