Dans le cas de l’equalion les va

riables x, y, ne sont plus proportionnelles, mais leurs accroissements à partir de deux valeurs cor-

GÉOMÉTRIQUES PAR LEURS ÉQUATIONS. tii)

respondantes quelconques sont dans un rapport constant égal à a En effet, si x, y; x', y'; x", y"..., expriment deux à deux des valeurs simultanées satisfaisant à l’équation de la droite, on a

yx=.ax-\-b , y’=zax-\- b, y’z=ax”-\-b..

et l’on en conclut

d’où

Les différences x' — x, x" — x , qui peuvent

être positives ou négatives, s’appellent les accroisse/n en/s algébriques de x, et se représentent par la

notation Ax. Les différences y' — y, y " — y

qu on représente par A y, sont les accroissements algébriques des y. La propriété dont il s’agit s’écrit donc ainsi

et s’énonce en disant que les accroissements simultanés des variables X, y, sont proportionnels.

Les sciences physico- mathématiques offrent des cas nombreux d’une pareille loi : par exemple la dilatation d'un corps, c’est-à-dire son accroissement soit de volume, soit de longueur, est, entre certaines limites, proportionnelle à son ac-

croissement de température , toutes circonstances égales d’ailleurs.

90. Dans un système d’axes déterminé, on peut toujours trouver une droite telle que les constantes a, h , de son équation, aient des valeurs données quelconques. Il suit de là que , réciproquement à la proposition précédente, dans un système quelconque d'axes coordonnés , une équation du premier degré Ay — j— Iîor — (— C = 0 entre les coordonnées X, y, dans laquelle A et B sont des nombres ou des rapports donnés , et C une longueur donnée , est toujours celle d’une ligne droite , qu’il est facile de construire .

91. Trouver P équation d'une droite ayant une inclinaison donnée , et passant par un point donné.

Soit a l’inclinaison donnée , et soit b l’ordonnée inconnue à l’origine; les coordonnées a-, y, d’un point quelconque de la droite, satisferont à l’équation

y=ax-\-b [1].

Les coordonnées x', y', du point donné , doivent satisfaire à la même équation. Ou a donc

y’—ax'-\-b [2].

Cette dernière équation détermine b , qu’on peut substituer dans l’équation [1]. Plus simplement par la soustraction on a

Ou vérifie aisément que cette équation satisfait aux deux conditions de l’énoncé. On peut l’obtenir immédiatement à l’aide d’une figure.

92. Trouver l'équation d’une droite passa ntp ar deux points donnés (x', y) (x", y").

Soit a l’inclinaison inconnue sur l’axe de x : les coordonnées x, y, d’un point quelconque, satisferont, d’après le numéro précédent, à l’équation

qui exprime déjà que la droite passe par le point dont les coordonnées sont x', y'.

Les coordonnées du second point x”, y”, doivent satisfaire à la même équation; on a donc

y" — y'— a fx" — x’) [2].

Cette dernière relation détermine a , dont on substitue l’expression dans l’équation [1]. On arrive ainsi à

L’équation s’obtiendrait immédiatement sous la première forme, soit à l’aide d’une figure, soit par la propriété remarquée au n. 89. On vérifie sans calcul qu’elle satisfait à la double condition de l’énoncé.

Sous la seconde forme , l'équation est évidemment symétrique relativemout aux points donnés, c’est-à-dire qu’elle reste la même quand on change x' et y’ en x"et y", et réciproquement.

Si les deux points donnés sont l’un sur l’axe des x, à une distance p de l’origine, l’autre sur l’axe des y, à la distance q , l’équation se réduit à

95. Déterminer le point d’intersection de deux droites dont on a les équations. En général deux lignes quelconques étant données par leurs équations, la recherehe dedeurs points communs se réduit à résoudre ces deux équations considérées comme renfermant deux inconnues, x ety, qui cessent d’être des variables indéterminées.

94. Equations de deux droites perpendiculaires entre elles. Dans un système de coordonnées rectangulaires ,1a condition nécessaire et suffisante pour que deux droites dont les équations sont

y=ax-\-b , y=za'x-\-b',

soient perpendiculaires entre elles, est (54) que les coefficients a, a', satisfassent à la relation

a— — -, ou a«’4-l = 0.

§ 3. — Du Cercle.

Do. Dans un système de coordonnées rectangulaires, la circonférence du cercle dont le rayon est p et dont le centre a pour coordonnées « et (3 est (24) exprimée par l’équation

96. Si le centre est à l’origine des coordonnées , on a (3=0, «=0; l’équation devient

V 2 - f * — P 2 , d’où yh=. ( P -f x) (p — x) :

donc l’ordonnée est moyenne proportionnelle entre les deux segments du diamètre.

L’équation du cercle dont le centre est à l’origine s’écrit souvent sous la forme

y—dl 1/ p 2 — x 2 -