Réciproque du m° 95. Toute équation de la forme
y a +* a +Dy+E*+F=0
entre des coordonnées rectangulaires , dans laquelle D, E, sont des longueurs, et F le produit de deux longueurs, est l’équation d’un cercle, à moins qu’elle ne soit impossible. En jeffet cette équation peut se mettre sous la forme
ou
( JDy ,/ , E \ 2 D* E 2 p
d’où l’on conclura que les coordonnées du centre et le rayon sont
11 y a impossibilité si p est imaginaire, c’est-àdire si l’on a
Si F=0, la courbe passe par l’origine.
99. On détermine facilement les intersections du cercle précédent avec les axes , avec une droite donnée, ou avec un autre cercle (93).
100. Trouver le lieu des points M (flg. 23) dont les distances MA, MB, à deux points fixes A, B, sont dans un rapport constant m : n.
Soit AB=fl : on a
MÂ 2 =y 2 -)-.r 2 ; MB 2 =y 2 +(jr— a) 1 ;
MA 2 : MB 2 : : w 2 : n 2 ; d’où l’on conclut
m 2 (y 2 - f- x 1 ) = m 2 (y 2 -)- x 2 — 2ax-\- a 2 ) .
Sim=n, l’équation se réduit à x=|, et exprime une ligne droite perpendiculaire à AB.
Si m diffère de n, l’équation est celle d’un cercle
, , , 2 am 2 , a 2 m 2 k
yM-x 2 j 2 x-\ 5 5 = 0 .
J ' m 1 — nr m 2 — tr
101 . Trouver le lieu géométrique des points M, M', M" (fig. 24), tels, que les distances AM, AM', AM", à un point fixe A, sont réciproquement proportionnel' les aux distances AN, AN', AN", les points N, N', N", étant sur une droite. En d’autres termes, il faut que le produit AN . AM soit constant , quelle que soit la direction ANM.
On prend l’axe Ax perpendiculaire à la droite NN". Soit AB=«, et AN. AM=aA/ on a
AM = P / a^-j-y 2 et AN : AM : : a : x,
d’où, en multipliant les deux premiers terraesde cette proportion par AM, et substituant pour AN .AM et AM 2 leurs valeurs, on conclut
ab : x 2 -\-y 2 : : a : x, OU x 2 -| -y 2 =bx, équation d’un cercle.
§ k- — Equations dp. l’ellipse, de l'hyperbole et de la
