Cherchons l’équation de l’hyperbole rap

portée à ses axes principaux , c’est-à-dire aux axes coordonnés rectangulaires Ox, Oy, dont l’un passe par les deux foyers , et l’autre par le centre. En représentant l’un des rayons vecteurs par a-\-z , et l’autre en conséquence par z — a, à cause de p — p'=2 a, on a

p=x-4-o; p 2 ou (*-f-a) 2 =y 2 +(c-|-x) 2 ;

p— z — a; p ' 2 OU ( z — a) 2 —y 2 -\-{x — c) 2 .

Ces dernières équations, étant algébriquement les mêmes qu’au n° 1 03, donnent la même valeur de z — Cj 2 et la même équation finale qui, à cause de a<c, doit s’écrire sous la forme

106. En faisant, dans l’équation (n° 1 03) de l’ellipse, o 2 — c 2 = A 2 , et dans celle (n° 105) de l’hyperbole, c 2 — a 2 = A 2 , on a pour l’ellipse

«y4-AV= :a 2 b 2 ou

et pour l’hyperbole

a. 2 y 2 — b 2 *?— — a 2 b 2 ou J b- a 2

107. Réciproquement toute équation en coordonnées rectangulaires, de la forme

est celle d’une ellipse dont les axes sont 2 p selon

les x , et 2 q selon les y ; l’axe contenant les foyers est le plus grand des deux.

Toute équation de la forme

est celle d’une hyperbole , l’axe transverse étant 2 p ou 2 q selon que le second membre est positif ou négatif, ou que l’axe des x rencontre ou non la courbe.

108. Etant donnée l’équation d’une courbe , on peut en déduire toutes les propriétés de celte ligne. C’est ce qu’on appelle discuter une équation. On ne s’attachera ici qu’aux conséquences les plus immédiates des équations de l’ellipse et de l’hyperbole.

De l’équation de l’ellipse

on conclurait, si on ne le savait déjà ,

1° Que l’origine est un centre , c’est-à-dire le milieu de toutes les cordes passant par ce point: car, si x , y , sont les coordonnées d’un point, les coordonnées d’un point diamétralement opposé — x, — y, satisfont également à l'équation ;

2° Que chacun des axes coordonnés coupe en leurs milieux les cordes parallèles à l’autre : car, si x, y, sont les coordonnées d’un point, les deux

autres points dont les coordonnés sont — x,y et x, — y, sont également sur la courbe.

3° Que les longueurs des parties des deux axes coordonnés interceptées dans la courbe sont 2 p sur Taxe des x et 2 q sur Taxe des y : car en faisant y— 0, on trouve x=±p ; et pourx=0,

En résolvant l’équation par rapport à l’une des variables, y par exemple, on a j

y=dz~ \S p 2 — x*.

Le facteur \/ P 2 — x 2 ou [/(p+x) [p—x) est une moyenne proportionnelle entre les deux segments p- \-x, p — x, du diamètre 2p. Ce facteur est donc égal à l’ordonnée [rectangulaire répondant à l’abscisse x dans le cerclequi aur ait son centre à l’origine et le diamètre 2p.

Donc, pour une même abscisse, l’ ordonnée de F ellipse rapportée à ses axes principaux est à celle du cercle décrit sur F un de ses axes, comme diamètre , dans le rapport constant de l'autre axe à ce diamètre. De là résulte un moyen de construire l’ellipse par points.

109. On conclut de celte propriété que toute ellipse peut être considérée comme la projection d'un cercle sur un plan, et tout cercle comme la projection de diverses ellipses ayant un axe commun', considé-

SI

&éou£thique!> par leurs équatioss.

râlions fécondes en conséquences intéressantes concernant les diamètres conjugués , les cordes supplémentaires, les parallélogrammes circonscrits.

410. On a vu, aux n°‘ 100 et 101 , qu’en cherchant l’équation d’une courbe définie par une propriété géométrique, on peut reconnaître l’identité de la courbe avec une ligne connue par d’autres propriétés. En voici un autre exemple.

L’angle yOx étant droit (fig. 27), une droite AI», d’une longueur déterminée, est assujettie à se mouvoir, de manière que l’extrémité A soit toujours sur O y , et l’extrémité B sur 0.r. Cherchons l’équation de la courbe décrite par le point M de la droite , dont les distances aux extrémités A, B, sont les constantes «, b.

On a

MP : MB : : AQ : AM ou

ce qui revient à l’équation de l’ ellipse .

4M. Discussion de l’équation de l’hyperbole

Pour x=a t on a y=0; pour .r</7, y est imaginaire; pour x>a et quelconque, y a deux va-