Si l’on change y en .r, et x en y, l’équation

T~'lpy ou y=~

fifi CHAPITRE II. — EXPRESSION DES LIEUX

est celle de la même parabole (si j> a la même valeur), mais autrement située. 11 en est de même des paraboles dont les équations sont

118 . En rapprochant l’équation de la parabole i/ 2 =2px de celle de la fin du n° 1 14, on voit que l’équation

y 2 -\- m ar= 2p. r

exprime l’une ou l’autre des trois courbes que nous venons d’étudier, selon que m est positif, négatif ou nul.

Il est à remarquer que, dans le cas des deux

courbes à centre, p est égal à - , c’est-à-dire une troisième proportionnelle à l’axe selon les abscisses et au second axe ; tandis que m est égal à

— el par conséquent a ±'~. L équation précédente peut donc être écrite ainsi :

V 1 — - a * 2 —2px-

Cela posé, dans le cas où l’on ne voudrait considérer qu’une portion de la courbe , voisine du sommet situé à l’origine, il peut arriver que a soit tellement grand par rapport à p et à la plus grande valeur de x, que le terme £ x 2 soit négligeable auprès de ‘2p.r. Si par exemple on fait

a— 1 000000™ et p = I, d’où £= l/^= 1000, on aura

y^ïxdzO , 000001 X 2 .

Or, tant que x sera assez petit, par exemple inférieur à 1 m , le terme en x 2 pourra être négligé , et y 2 calculé d’après la formule

y 2 — 2.r oli y 1 — '2px,

comme si la courbe était une parabole. Telles sont les ellipses que les comètes décrivent autour du soleil comme foyer, tant qu’on n’en considère que les parties les plus rapprochées de cet astre.

C’est pourquoi l’on dit qu'une parabole est une ellipse (et l’on peut dire aussi une hyperbole) dont les axes deviennent infinis, tandis que leur troisième proportionnelle = ^ reste finie.

119* L’analogie des trois courbes résulte aussi de l’expression du rayon vecteur en fonction de l’absoisse dans l’ellipse et l’hyperbole. On a (103 et 104)

ex .

ellipse si c< a , hyperbole si c>a.

Cette équation peut s’écrire :

c’est-à-dire que le rayon vecteur est à l’abscisse,

SS CflAPITHE II. — EXPRESSION DES LIF.EX

augmentée de la constante -, dans le rapport constant c : a; de sorte que, si l’on prend à partir du centre 0 (fig. 31), du côté des x négatifs, une distance OH on OH' égale à ^ , et si l’on élève sur OH la perpendiculaire 1IK appelée directrice , le rayon vecteur FM, joignant le foyer à un point quelconque M de la courbe, seraà la distance MR, MR', du point M à la directrice , dans un rapport constant, <1 si la courbe est une ellipse, >1 si c’est une hyperbole. De là une définition commune aux trois courbes étudiées dans ce paragraphe.

120. L’ellipse, l’hyperbole et la parabole, sont depuis long-temps connues sous la dénomination commune de sections coniques, parce qu’on les obtient en coupant par des plans un cône à base circulaire. Cette propriété est comprise dans une proposition plus générale démontrée dans l’uu des paragraphes suivants. Nous ne considérerons ici que le cas où les plans coupants sont perpendiculaires au plan principal d’un cône oblique.

On appelle plan principal celui qui passe par le centre de la base circulaire du cône et par la perpendiculaire menée du sommet sur le plan de celte base. Les droites suivant lesquelles il coupe la surface conique sont les génératrices principales.

Soient SA, SB (fig. 32), ces deux droites, et prenons le plan principal ASB pour plan de projection orthogonale.

UKUUÊrRIQVM PAR l.IURS LyUATMJ.I».

Soit AA' la trace et la projection du plan coupant; c’est aussi la projection de la courbe d’intersection.

Faisons AA'=2a.

Soient AB, A'B', deux droites parallèles à la base circulaire du cône : ces droites sont les projections de deux cercles ayant AB et A'B' pour diamètres.

Faisons AB=2r, A’B'=2r'.

Soit P le pied et la projection d’une ordonnée y quelconque de la courbe d’intersection. Prenons AA’ pour axe des abscisses ayant leur origine en A. Ainsi AP=.r, A'P = 2o — x.

Menons par P la droite QQ' parallèle à AB : elle est le diamètre d’un cercle dont y est également l’ordonnée projetée en P. Donc on a

y 2 =PQ X

Or, du parallélisme des droites AB, QQ', A'B', résultent les relations

‘Afp c>

p «= ab -S-a= 2 '- ! 2 „ • pq'=ab'.h: i= v.^ ;

donc, en substituant ,

y—' S( 2ax — ■ **) 011 y-=zi( 2ax — x2 )'

en faisant n'=b 2 . C’est l’équation d’une ellipse

121. Supposons maintenant que le plan coupant PAA' rencontre les deux nappes du cône (fig. 33). On aura de même

y 2 =PQXP0',

PQ = AB.£l=2r.

P Q- AB '-^= 2 ^fa«

d’où

y 2 =£(2«x+**), équation d’une hyperbole.

122. Tant que le plan coupant passant par A rencontre la seconde génératrice SB dans la même nappe que le point A de la première , la section est une ellipse, courbe fermée; si la rencontre A' est dans l’autre nappe, la section est une hyperbole composée de deux parties séparées , qui s’étendent indéfiniment dans les deux nappes.

Il reste à considérer la position intermédiaire où le plan coupant AP est parallèle à la seconde génératrice principale (fig. 34).

(ISOMÉTRIQUES TAU LEURS EQUATIONS.

Soit encore AB=2r, et de plus SB = 2/.

y étant toujours l’ordonnée projetée en P, commune à la courbe projetée en AP et au cercle projeté en QQ', on a

y*=PQ X PQ\ PQ + AB=2/,

(I ou

PQ=AB. A -J=2r.f,

C’est l’équation d’une parabole.

On voit que c’est la courbe dont s’approche de plus en plus l’ellipse ou l’hyperboled’intersection, à mesure que le point A' s’éloigne du sommet du cône , tandis que le point A reste constant. L’équation de la parabole pourrait se tirer de celles des deux autres courbes d’après cette considération.

Ces équations peuvent s’écrire ainsi :

A mesure que A' s’éloigne, le rapport £ ou ^ approche de la valeur ou^; ainsi le coefficient de x approche de la valeur finie (atulisque celui de x 2 , différant aussi peu qu’on veut de . î, approche de zéro.

125. Parmi les sections elliptiques, un cas remarquable est celui où le plan coupant est anti-parallèle au plan de la base circulaire, c’est-à-dire que le plan coupant AA'(fig. 35) fait avec une génératrice principale SA un angle SAA' égal à l’angle SBA que l’autre génératrice SB fait avec la base circulaire.

Dans ce cas les triangles semblables AA’B , AA'B', donnent

AB : AA' : : AA' : A B', ou

2r : ‘la : : 2a : ou rr'—a 2

et l’équation de la section devient y==2ax — x 2 : cette section est donc un cercle.

Cette propriété trouve son application dans la construction des cartes géographiques.

§ 5. — Propriété des courbes paraboliques