L’équation générale des courbes paraboliques

y=A4-B*-f-C*4- + Hx"

nous conduit naturellement h donner une idée du calcul des différences finies.

Soit une suite de termes suivant une loi quelconque , ï 5 9 s 7 i#

leurs différences s’appellent différences 1"’. 3 t, —1 — 1 3

les différences de celles-ci s’appellent différences'!'"*' . 1—504

les différences de ces dernières s’apellent différences 3' nra , —r> 5 5

ainsi de suite.

Pour appliquer ces définitions aux diverses valeurs d’un polynôme en a-, qu’011 peut toujours considérer comme exprimant l'ordonnée générale y d'une courbe dont x est l’abscisse , on suppose que x prenne des valeurs équidiffé rentes

.r,= .r ù -f- 3 ' 5 , .r„=a- 0 -f no,

auxquelles correspondent diverses valeurs de y, qui seront des ordonnées équidistantes de la courbe,

Les différences premières de celte suite sont

y— //o* Vi—Vv y*— y» y— y* y —y,.-,,

qu’on peut représenter par les notations *y 0 *y, *y 3 Ay., t .

GÉOMÉTRIQUE* PiR LEUR* ÉQUATION*. 97

Les différences secondes de la suite des y sont les différences premières de celle des A

A y“ A y<n A y— A y<> A yr- A y a ----»

qu’on désignera par

AC 'Vo a( 'Vi a( ’V 2 >

et ainsi de suite.

On remarquera que, y étant une fonction explicite de x, Ay 0 est une fonction de x 0 et de 5; que A y,, A y,...., n’en diffèrent qu’en ce que j- 0 est

remplacé par .r,, x 2 oux 0 -|-i3,x 0 -f-23 ;que

A !al y 0 est de même une fonction de x 0 et 3, et que A f,1 y,, A (, 'y r ..., n’en diffèrent qu’en ce que x 0 est

remplacé par x t , x 2 ..., ou x 0 -{-3, x,-f-23 ; et

ainsi de suite pour les différences de tous les ordres.

Si on supprime les indices de y, on entend par A y, A r,) y des fonctions de x et de 3 dans lesquelles il ne reste qu’à substituer au lieu de x les valeurs x 0 , x 0 -|-3, r 0 -f-33...., pour avoir les suites ci-dessus indiquées.

129. La différence première d’un polynôme est évidemment égale à la somme des différences premières de tous les termes ; et si l’un de ces termes est constant, il disparaît dans la différence première.

La différence première d’un monome Kx m est

ir vr « ni .i I (ffl t) »2„ra-l

K (x -J- o) m — K.r m = K mo.c -| ^ 0 r ■ • * »

c’est-à-dire un polynôme du degré m — 1 en x.

Ce serait la constante K3 si m était = 1 .

Donc, Ay est un polynôme en x d’un degré immédiatement inférieur à celui du polynôme y.

150. A w y, n’étant autre que la différence première de A y, est un polynôme dans lequel le plus grand exposant de x sera d’une unité moindre que dans A y, et , par conséquent, do deux unités moindre que dans y.

En général , A l,,) y est un polynôme en x dont le degré a n unités de moins que y; et, par conséquent, dans le cas où n est le degré de y, A y est une constante, dépendant seulement des constantes du polynôme y et de la différence ô des valeurs consécutives de x. Dans ce même cas,

A ( ' +,1 y est nulle. Exemple :

Si l’on donne à x une suite de valeurs dont l’une soit zéro, et dont la différence constante soit 3=2, on aura les suites

* . ... h — 2 0 . -fî 4 c 8 ,0 "

-64 -10 Sî 88 128 176

4 l%con»t -48 48 48 4«

On voit qu’il suffit de calculer d’après la formule x 5 — 2x 2 -}-3 quatre termes consécutifs de y, et qu’on obtient ensuite les autres par des additions ou soustractions.

On emploie cette méthode pour dresser, d’après des formules données , des tables servant à abréger les calculs de la mécanique, de l’hydraulique, des déblais et remblais, etc.

151. Lorsque, après avoir déterminé un certain nombre d’ordonnées équidistantes d’une courbe, on trouve que leurs différences secondes sont constantes, on en conclut que la courbe peut être une parabole, et son équation de la forme y = A-j- Bx+Cx 2 . On a vu que trois points connus d’une telle courbe suffisent pour déterminer les coefficients A , B , C, et, par conséquent, pour calculer tant de points qu’on voudra de la courbe; mais quand les ordonnées des trois points connus M', M", M"' (fig. 37), sont équidistantes, le calcul se simplifie.

On peut transporter l’origine des coordonnées au point intermédiaire M". Soit o l’intervalle M" P " égal à P’ M '.

Soit l'ordonnéede M'= — A, et celle de.M"— l’équation cherchée sera de la forme

et devra être satisfaite par les deux sy sternes de valeurs

On a donc

— A — — Il-fC et A 2 z=B -j-C,

d’où

B=|(A,+A 2 ) et C=i(A 2 -A,).

L'équation devient ainsi

ou bien

Si pour calculer l’ordonnée MP d’un point intermédiaire M on ne prenait que y— A 2 .r, ce seiait supposer que les points M*, M, M’ , sont en ligne droite ; et si M "Pétait | ce qui fait |= 5 , Ter-

reur commise serait -(A 2 — A,).

152. Application au calcul des logarithmes des sinus et tangentes des petits angles :

log. sin. 4» 16 = 2,8715646

log. sin. 4° 17=2,8732546 —65

log. sin. 4° 18=2,8749381 —66

log. sin. 4° 19=2,8766150 —65

log. sin. 4° 20=2,8782854 On demande log. sin. 4° 17' 21".

Si Ton prenait les angles pour abscisses et les logarithmes sin. pour ordonnées , on aurait une courbe qui différerait très peu d’une parabole , puisque la différence seconde des ordonnées équidistantes est presque constante. La question se réduit à trouver l’ordonnée intermédiaire répondant à l’abscisse 4° 17' 21".

On applique la formule précédente en transportant l’origine au point correspondant à 4° 17'; prenant l’unité du dernier ordre décimal des logarithmes pour unité des ordonnées , on aura

y devient donc

102 CHAPITRE U. EXPRESSION DES URl \

C’est ce qu’il faut ajouter à

log. siu. 4° 17'= 2,8732546

pour avoir

log. sin. 4° 17' 21" = 2,8738446.

On trouve à la fin des tables de logarithmes de MM. Marie et Reynaud une table À toute calculée des valeurs de de seconde en secon-

de , en prenant la minute pour unité.

153. Lorsqu’on a les coordonnées de trois points d’une courbe , et que la question qui donne lieu à cette courbe permet de la considérer comme peu différente d’une parabole , au moins dans l’intervalle des points obtenus, on calcule approximativement des ordonnées intermédiaires par la formule du n° 130, ou par la méthode du n° 126, suivant que les ordonnées connues sont ou ne sont pas équidistantes. Cette opération, appelée interpolation, est fort utile dans les sciences d’observation.

Exemple. La vapeur d’eau à l’état de saturation supporte une pression qui varie suivant la ^température.

Sachant qu’aux

pressions de 5 7 10 atmosphères

répondent les températures 153,08 166,50 181 ,60 deg.ccntig.

on demande les températures pour les pressions de 6, 8, 9, atmosphères.

Faisant y et x égales aux accroissements à partir de 166°, 50 et 7 atmosphères, on a l’équation

y = Ax-{-Bx 2 ,

satisfaite par

ce qui donne deux équations du premier degré, d’où l’on tire

A = G, 039 et B=r— 0,335;

donc

Faisant successivement x = — 1 , — j— 1 , — f— 2, et ajoutant les résultats à IGG, 50, on trouve les températures cherchées :

L’expérience directe a donné