Le théorème du n° 129 sert à résoudre ce problème

Exprimer par une formule la somme des carres des nombres entiers consécutifs depuis 1 jusqu'à l.

Le polynôme y =Ax 3 -j-Bx 2 -j-Cr ayant une différence première du second degré en x , on peut

se proposer de faire que cette différence soit x 2 quand x croît de 1 . Alors , si l’on donne à x les valeurs successives

les valeurs correspondantes deyou de Ax J -j-Bx 2 -f Cx

étant désignées par

leurs différences ou les valeurs successives de x 2 seront

d’où l’on conclura (en remarquant qu’une valeur quelconque de y est égale à la valeur initiale 0 plus la somme des différences intermédiaires )

y„ ou A»’-(-B» 2 -}-CM = 1-|“2 2 -f-3 2 -J-...-f-(« — l) 2 ,

somme des carrés des nombres entiers de 1 à » — 1 .

Or, la différence de Ax J Bx 2 -{- Cx- quand x croît de \ est

3 A x 2 — J— 3Ax —J— A -f-2Bx+B -}-C

et se réduit à x 2 si l’on fait

c’est-à-dire

Ainsi , y devient en général

ou bien donc

ou, en faisant d’où

+ fe|/(/-|-1)(2/+1).

y=gx(2^— 3x-fl) y=lx (x—])(2x— \)- t

138. On trouvera de même la somme des carrés des nombres impairs consécutifs à partir de 1 . Il faudra déterminer y ou A.r 3 -j-Bx J -|- Car , de manière que sa différence première soit (2-r-f- 1) 2 , et alors , pour les valeurs consécutives de x ,

celles de y ou de Ax 3 -j- Bx 2 C.r étant

°» yi> y 2 > y 3 >y.-. » y»;

eurs différences ou valeurs successives de ( 2*-{-1 ) 3

seront

d’où

y„ ou A« 3 + Bn 2 -}-C» = 1 -f 3 2 + 5 2 -f . . .-f-(2«— 1 y Or, pour que la différence première de A.r 5 -|- B^-j-Cx quand x croît de 1 se réduise à

(2x-H) 2 ou Ux 2 -\- 4.r -j- 1 , il suffit de poser

3A = 4, 3A+2B==4, A + B -}-C = 1 , c’est-à-dire

Ainsi , y devient en général

y=|x(2x — 1)(2ar-f 1);

donc

ou, en faisant