X-— 2 xy-j-y

sin :iK ’

1 os CHAPITRE II. — EXPRESSION DES LIEUX

d’où

iX y cos 2 « sin 2 «’

l’équation x y — P se transforme donc en

6/ 2 cos* 2 hPsiri 1 * ’

ce qui exprime une hyperbole, dont Taxe Iran s verse est 4/ cos «= 20 A.

Si les axes Ox , 0 y sont rectangulaires , on a

sin«=cosa = ^ V ' 2

et l’équation en X, Y, devenant X 2 — Y 2 =2/% exprime une hyperbole équilatère.

L’équation xy -\-ax-\-byz=ic, pouvant s’écrire ainsi

{i/~ f— a) (x — |— 4) — c — ah ,

se ramènerait évidemment , en transportant les axes parallèlement, h la forme YX — d. Elle exprime donc une hyperbole , [dont les asymptotes sont parallèles aux axes coordonnés.

137. L’équation de l’hyperbole , sous la forme xy — constante, conduit à des propriétés remarquables de cette courbe.

1° Soient R’S', R” S", deux sécantes parallèles (fig. 39); segments : R'M'=«\ M'S'=t>’; R"M' — u", M" S" = v" ; coordonnées : M'Q'= x , M' V—ÿ ;

M'Q" —x" t M"P’= y". L’équation de la courbe donne x'y'z=zx''y" ; et la similitude des triangles M'Q'R', M''Q''R", M'P'S',

d’où l’on conclut

Le produit uv des deux segments pour toutes les sécantes parallèles est donc constant.

2° Soient deux points M', N’, sur une même sécante R' S'. On a , par ce qui précède ,

RM’. (M'N’-f-N'S') =(R'M'+M’N') . N'S' :

donc R'M'=N'S'.

Cette propriété, ayant lieu quelle que soit la direction de la sécante, fournit un moyen très simple de construire une hyperbole dont on a les asymptotes et un point.

138. Aperçu (fig. 40) de la forme de la courbe exprimée par l’équation

Pour x—a on a y = a; pour x—tna , y = tandis que pour|y = ma, x=r—. t

La courbe se rapproche beaucoup plus rapidement de Taxe des x que de l’axe des y, quoique ces axes soient asymptotes l’un et l’autre.

§6. — De quelques courbes transcendantes.