CP
on a
— = oo 5 2 10—1—2 —3 — ce.
L’équation = log. ^ est celle d’une courbe semblable à la première et semblablement placée par rapport aux axes. Car , si l’on fait
on aura
nu
140. L’équation ^ = wi log. ^ est encore celle d’une courbe semblable à la précédente, mais non semblablement placée par rapport à l’axe des x, car elle donne
ma
d’où
= lo e(^-“)
y — a . m log m
log
mu
donc, en élevant l’origine de la longueur am log m sur l’axe des y , et appelant les nouvelles ordonnées Y, X, on a
— — lo —
ma ^ ma
ce qui prouve la proposition énoncée.
14t. La courbe dont l’équation est -=m - est également une logarithmique ; mais elle a pour asymptote l’axe des x négatifs (fig. 42). Car on a
d’où
— log^.
a iO{j m ° a
142. Sinusoïde. Si sur Ox (fig. 44) on porte les abscisses OP, OP', OP"..., égales aux arcs am, am', «m".(fig. 43), et qu’on fasse les ordonnées PM,
P'M', de même longueur et de même
sens quepm, — , la courbe OMM'M"....
aura pour équation
y=rsin(î),
le rayon du cercle générateur étant r ; et alors l’angle * n’est pas exprimé numériquement en degrés sexagésimaux, mais par le rapport de l’arc compris entre ses côtés au rayon avec lequel il est décrit.
La forme générale de la courbe est facile à discuter.
145 . Cycloide. Si un cercle roule sans glisser sur une droite, en restant dans un même plan, la courbe que décrit un point de sa circonférence s’appelle une cycloïdc (fig. 45).
Soit A»»B le cercle générateur dans sa position initiale. Soit LMK une autre position quelconque. Supposons que le point décrivant soit en A sur le premier cercle et en M sur le second. Par la définition, on a arc LM=AL. Or, Am=LM, mA=AL :
donc 7»M=arcmA.
De même m’M— arcm'A; etc.
En général, y = x, en appelant x l’abscisse curtiligne km, portée à partir du point A sur la circonférence AwB, et y l'ordonnée »«M parallèle à l’axe AE. Si entre ces mêmes variables l’équation était
y—ax, la cycloïde serait allongée ou raccourcie selon que la constante a serait > ou < 1 .
144. Spirale à' Archimède. Une droite O M (fig. 46) tourne dans un plan autour d’un de ses points 0 ; le point M est mobile sur la droite , et y parcourt des longueurs égales pendant que la droite OM décrit des angles égaux. Le point M décrit sur le plan la spirale d’Archimède.
Soit Oa la position de la droite quand le point décrivant est en O ; amm' est un cercle quelconque , ayant O pour centre. Les longueurs OM, OM', du rayon vecteur, sont proportionnelles aux angles oOM, aO'M, ou aux arcs am , ami. De là une construction facile de la courbe quand on connaît la longueur ON parcourue par le point décrivant pendant une révolution entière de la droite mobile.
Cherchons à exprimer cette courbe par une équation.
143. Soit ON = /, donnée ; le rayon vecteur OM=p, variable. Soit - j” w =9; ce rapport 9 de l’arc variable am à son rayon est l’expression analytique de l’angle aOm. D’après la définition de la courbe on a p : / : : 9 : 27r, ou 2*p= 10 ; équation cherchée, dans laquelle les variables p,9, sont les coordonnées polaires de la courbe.
