AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ

147. Les équations des courbes dont nous venons de nous occuper ont été obtenues sous des formes simples, par suite du choix convenable de la position des axes coordonnés. De même que l'équation du cercle (95 et 96) est plus compliquée lorsque le centre a une situation quelconque que lorsqu’il est à l'origine des coordonnées , de même il est évident que les équations de l'ellipse , de l’hyperbole et de la parabole, seraient moins simples si les axes étaient pris arbitrairement et faisaient un angle quelconque. Mais il est important de constater :

l“Que dans tous les cas les équations de ces trois courbes exprimées en coordonnées parallèles à des axes sont du second degré, c’est-à-dire toujours comprises dans la formule générale

Ay 2 -f- B xy -f- Car 2 -}- l)y -f- Ex -j- F =0 ;

2° Et que réciproquement une équation du se-

(•) Les paragraphes qui suivent, jusqu’à la fin du chapitre II, ne sont pas nécessaires pour le Cours de Mécanique. Ils sont utiles dans les applications de la Géométrie descriptive.

cond degré en coordonnées parallèles à des axes ne peut exprimer une autre courbe que l’ellipse (dont le cercle est un cas particulier), l’hyperbole ou la parabole.

La démonstration de cette double proposition dépend d’une méthode générale qu’on appelle la transformation des coordonnées.

i48. Soient Ox, O y (fig. 47), les axes donnes quelconques auxquels est rapportée une courbe dont l’équation est F (x, y)= 0;

Soient 0'x 1 , Oy , les axes également donnés par rapport auxquels on se propose d’obtenir l’équation de la même courbe ;

Soient a et b les coordonnées OA, AO', de l’origine O' par rapport aux premiers axes.

M étant un point quelconque de la courbe, ses coordonnées x, y, sont OP et PM , tandis que ses coordonnées x', y, sont O’P', P'M'. Il est aisé d’exprimer par des équations les relations qui existent entre les quatre variables x, y, x', y', les constantes a, h , et les angles des axes entre eux. Il suffit de remarquer que la ligne brisée OPM, composée de x et de y, cl la ligne brisée OAO'P'M , composée de a, 4, x'et y', sont deux contours polygonaux conduisant du point O au point M, et que par conséquent leurs projections sur une même droite sont égales (22). Nous bornant ici à considérer les projections rectangulaires , nous pourrons appü-

quer le théorème du n°4G. Imaginons donc par le point O un axe quelconque, que nous appellerons OU, et nous aurons en général', suivant les notations déjà employées précédemment ,

£Cos(x,C)+ycos(y 1 U)=«cos(x,U)-{-6cos(ÿ,U)+x'co5(x',l!)-f!/'cos(y l ,li)

formule qui, d’après les observations du n° 48, a la plus grande généralité. Il est évident qu’en choisissant deux positions différentes de l’axe OU, on obtiendra deux équations du premier degré qui permettront d’exprimer les coordonnées x, y, en fonction du premier degré de x' et de y'. On parvient directement à ce résultat en prenant ces positions, l’une suivant OX perpendiculaire à Oy, l’autre suivant OY perpendiculaire à Ox. La formule ci-dessus devient , dans ces deux cas (en remarquant que les cosinus des angles d’une droite avec OX et avec OY sont les sinus des angles de la même droite avec Oy et avec Ox),

x sin (x,y)=a sin(x,y)-j-x' sin(x', y)-j-y'sin(y',y), y sin (y ,x) = b sin (y , x) -f- x' sin (x’ , x) -f- ÿ sin (y',x) ,

d’où

i x'si n(.r l , y) y 'sin (y 1 , y)

JC — — (t l . f -

sin (*, y)

i i x'sin(.r',x)+t/sin(y', r)

J 1 smiy, x)