Les coordonnées x, y, x', y', d’un meme
point de la courbe considérée, satisfont simultanément à l’équation F (x, y)= 0 et aux deux formules finales du numéro précédent; donc, si l’on substitue à x et à y dans l’équation F (.r, y)=0 leurs expressions données par ces formules, on aura une nouvelle équation qui sera également satisfaite, et qui, ne renfermant plus d’autre variable que x' et y', sera l’équation de la même courbe rapportée aux axes Oj’, O y'.
ISO. Si l’équation F (x, y) = 0 est une équation algebnque du wt' "' degré, c’est-à-dire qui puisse se ramener à la forme
la plus grande somme des exposants de * et de y dans un même terme étant le nombre entier »?, il est évident que l’équation transformée en nouvelles coordonnées x', y', ne sera pas d’un degré supérieur au «j um % puisque les valeurs de xetde y à substituer dans la première équation sont du premier degré. L’équation transformée ne sera pas non plus d’un degré inférieur au car il faudrait , pour que cela fut possible , que le degré put s élever quand on reviendrait des nouveaux axes aux anciens.
Ainsi, à quelques axes coordonnés qu’on les rapporte, les équations de l’ellipse, de l’hyperbole et de la parabole, sont toujours du second degré.
131. Pour établir la réciproque de celte proposition , nous prendrons l’équation la plus générale du second degré à deux variables
A^-j-Bxy-j-C^-f-Dy-}- E-r-f-F=rO [1],
et nous supposerons que les coordonnées x , y, sont rectangulaires, en remarquant que, s’il en était autrement, on pourrait, par la transformation , obtenir pour la même courbe rapportée à des axes rectangulaires une équation différente, mais toujours du second degré.
Nous remarquerons , en second lieu , que, si le terme B xxj n'existait pas dans l’équation, une transformation pareille à celle du n° 98 réduirait facilement l’équation à trois termes. Proposonsnous donc de faire disparaître de l’équation le produit xy y en changeant la direction des axes, mais en les conservant toujours rectangulaires et sans changer l’origine des coordonnées.
Dans ce cas particulier, les formules finales du n° \ 48 se simplifient : on a
a = 0, h— 0, sin(x,y)=1 , sin(x',y)=cos(x',T), sin (y, y) = — sin (y, j), sin(y,x)=1, sin(y',x)=cos(x', x);
eten remplaçant, pour abréger, l’angle(x\x) par *, les formules de transformation deviennent (telles
qu’on aurait pu les obtenir directement par la théorie des projections)
xz=zx’ COS a — y'sina, y—*' sin a-f-y'COSa.
Mettant ces expressions de x et de y dans l’équation [1 ] , on obtiendra une transformée du second degré , de la forme
Ay J +BVy'-}- C'^+Dy-fEV-f-FzrO [ 2 ],
dans laquelle les coefficients A', B'..., renfermeront l’angle a II s’agit de choisir cet angle de manière que B' soit nul. Or, en réunissant les termes en xy qui proviendront de la substitution, on trouve
B’= 2 ( A — C) sin a cos * -j- B (cos 2 a — sin 2 »), ou (57)
B'=(A — C) sin2a-j-Bcos2a.
Cette quantité serait nulle indépendamment de a si l’on avait à la fois A=C et B = 0, auquel cas il est aisé de voir (98) que l’équation [1] en coordonnées rectangulaires serait celle d’un cercle.
Dans tout autre cas , il faudra, pour faire disparaître le produit xÿ , satisfaire à l’équation
(A — C) sin 2« -}-Bcos 2« = 0,
d’où, en divisant par cos 2 «,
(A — C)lang2«-f-B = 0,
ou enfin
la "8 2 »=C=Â-
Comme la tangente d’un angle qui passe de zéro à 1 80° prend toutes les valeurs entre -f- oo et — oo, il s’ensuit qu’on trouvera toujours un angle a, mais un seulement, plus petit que 90°, satisfaisant à la condition proposée. Il y a donc toujours un système d’axes rectangulaires (et il n’y en a qu’un, sauf le cas du cercle) pour lequel l’équation d’une courbe du second degré se réduit à la forme
a y 2 -)- cv 2 -}- ny-f Ev-f f=o.
1S2. II reste à compléter la transformation de cette équation pour la réduire à trois termes. Il faut pour cela distinguer le cas où aucun des coefficients A', C', n’est nul , et celui où l’un des deux disparaît. Ils ne peuvent être nuis tous deux, puisque l’équation doit rester du second degré.
Dans le 1 er cas , l’équation peut s’écrire ainsi :
A '(y'+lb) + c (*'+ê)+ F—
Cela posé , il est toujours possible de transporter les axes parallèlement à eux-mêmes en O’x", O "y*, de manière que, x'\y\ étant les coordonnées d’un point de la courbe dans ce second système d’axes rectangulaires, on ait
-ât:'= :r,r el
GÉOMÉTRIQUES PAR LEURS ÉQUATIONS. 12l
car il suffit et il faut pour cela que les coordonnées de la nouvelle origine par rapport aux axes Ox', O y, soient, l’abscisse et l’ordonnée
En faisant pour abréger
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