AA'E

on ramène l’équation à la forme

Ay'H“E'x"= o,

qui appartient exclusivement à la parabole.

154. Ainsi se trouve démontrée la proposition énoncée au n° 147. C'est donc à juste titre que, vu l’emploi presque exclusif des coordonnées parallèles à des axes, les courbes étudiées au paragraphe 4 (n" 102 et suiv.), d’après leurs propriétés focales , s’appellent courbes du second degré.

Des diamètres des courbes du second degré.

155. Considérons, dans le plan d’une ellipse ou d’une hyperbole, une droite quelconque qui coupe la courbe en deux points ; menons par le centre une parallèle à cette droite, et prenons-la pour l’axe des y ; prenons l’axe des x passant par le même centre, mais d’ailleurs quelconque: l’équation de la courbe aura la forme

y 2 -}- Jwir 2 — j— nxy ~\~p = 0 ,

car il faut qu’elle reste satisfaite quand on change les signes des valeurs simultanées de x et de y.

De cette équation on tire

d’où l’on conclut facilement que la droite dont l’équation est

coupe en leur milieu toutes les cordes parallèles à l’axe des y.

Cette droite est un diamètre.

Si , en conservant le même axe des y, on prend le diamètre trouvé pour axe des x, l’équation en coordonnées obliques (en général) sera de la forme

y 2 -f-Mx 2 +N=0,

précisément la même que lorsque la courbe est rapportée à ses diamètres principaux.

Sous cette dernière forme on voit que chaque axe coupe les cordes parallèles à l’autre en leurs milieux. Les deux diamètres liés entre eux par cette propriété réciproque s’appellent diamètres conjugués.

156. Si la courbe est une parabole , soit l’équation qui l’exprime en supposant les axes rectangulaires

et soit une droite quelconque, ayant pour équation

yzxzax b.

Cherchons les ordonnées des points d intersection: en éliminant x , il vient