EQUATION DU PLAN RAPPORTÉ A TROIS AUTRKS PLANS COORDONNÉS
i(>5. Le procédé pour trouver celle équation dépend de la génération qu'on adopte pour le plan.
Considérons-le comme la surface engendrée par une droite qui se meut parallèlement à sa position initiale, en s’appuyant sur une autre droite fixe , et supposons , pour plus de simplicité , que la génératrice G (fig. 48) soit parallèle à l’un des plans coordonnés, par exemple celui des .r r, tandis que la directrice D est dans un autre de ces plans, par exemple celui des yz.
Les équations de la génératrice dans une position quelconque seront (ICO) telles que celles-ci :
y=* C 1 ]. i=ajp-fp....[2].
Dans la seconde équation , qui peut être considérée comme celle de la projection de la génératrice sur le plan des.rz , a est une constante pour toutes les positions de cette génératrice, puisque ces positions, étant parallèles entre elles , ont leurs projections également parallèles; « etp sont les coordonnées de la trace de la génératrice sur le plan des yr, et satisfont, par conséquent , à l’équation delà directrice : elles ont doue entre elles une relation du 1" degré, telle que
(i — bx\-c [3j.
Cela posé, les équations[l], [2], [8J, ont lieu
entre les coordonnées .r, y, a, d’un point quelconque du plan, et les quantités «, (3, qui conviennent à la génératrice passant par ce point. Donc, en éliminant ces deux dernières quantités , on aura la relation cherchée , indépendante de la position particulière de la génératrice. Cette équation, qui exprime complètement la position du plan, est
z = ax by -j- c .
Cette équation s’applique à tous les cas possibles , sauf celui où le plan serait parallèle à l’axe des z. Dans cette hypothèse l’équation ne contiendrait (78, 2°) que les variables x, y, et ne différerait en rien de l’équation de la trace du plan sur celui des x y : elle serait donc de la forme
mx -f- n y ? = 0 ,
pouvant se réduire à x = k ou y = l si le plan était à la fois parallèle à deux axes coordonnés.
164. Réciproquement, toute équation du 1" degré, comprise dans la formule générale
Ax -j- By -f- Cz -j- D = 0 ,
dans laquelle les variables x, y, z, sont les coordonnées d’un point variable , exprime toujours un plan. Car si C n’est pas nul, on peut, en divisant par C, mettre l’équation sous la forme
:—ax-\-hy -j- r,
et par conséquent concevoir la génération d’un plan (163) dont tous les points satisferaient par leurs coordonnées à l’équation proposée; il est d’ailleurs facile devoir que tout point hors du plan n’y satisferait pas.
163. Si dans l’équation d’un plan on fait l'une des coordonnées égale à zéro , on a l’équation de la trace du plan sur le plan des deux axes parallèles aux autres coordonnées.
IGG. Si dans l’équation d'un plan on fait simultanément deux coordonnées nulles, cette équation donne la troisième coordonnée égale à la distance de l’origine au point d’intersection du plan et de l’axe parallèle à cette coordonnée.
Tout plan passant par l’origine a son équation comprise dans la formule générale
Ar-(- B;y -f-Cz =0.
1G7. Quand le plan ne passe pas par l’origine, l’équation peut être écrite sous la forme
et p, y, r, sont (166) les distances de l’origine aux intersections du plan avec les trois axes.
168. On peut trouver l’équation d’un plan en le considérant comme une surface qui contient toutes les perpendiculaires menées à une droite par un môme point de celle droite.
Quelle que soit la position du plan, soit ON (fig. 49) la droite menée de l’origine O perpendiculairement à ce plan , qu’elle rencontre en N. Soit M un point quelconque du plan , et soient x , y, z, ses coordonnées.
Joignons M et N par la droite MN. Cette droite est perpendiculaire à ON, et, par conséquent , la longueur ON est la projection orthogonale de OM sur la droite ON. Mais la projection de OM est égale (22 et 48) à celle du contour polygonal OPCM, composé des coordonnées x , y, z, du point M. Donc, en faisant ON=rf, on a :
(1= .reosNOx-f yeosNOy-j-zcosNO,
Cette équation , dans laquelle d et les trois cosinus sont des constantes, tant qu'il s’agit d’un même plan, est l’équation de ce plan.
169. Une droite peut être exprimée par les équations à trois variables de deux plans différents qui la renferment. Il suffit de considérer ces deux équations connue devant être satisfaites simultanément par les coordonnées x,y, z. On peut, par deux éliminations successives d’une variable , obtenir un système équivalent, mais plus simple, de deux équations à deux variables ; et ces équations sont alors tout à la fois celles des deux plans projetants qui y correspondent.
ciÊouiiraïQuiis par leurs équations. 13,1
§ 10. — De la transformation des coordonnées parallèles A TROIS AXES, APPLIQUÉE AUX SURFACES DU SECOND DEGRÉ.
170. La forme la plus générale d’une équation algébrique du second degré entre trois coordonnées x, y , z, est celle-ci :
Ax 2 + A'ÿ 2 4- A"i 2 -|-Bxÿ+B'xs + B"i/ï + Cx+ C'y + C"* + D = 0.1
On conçoit, par ce qui a été dit (147 et suiv.), qu’une telle équation , considérée comme exprimant une surface, peut être simplifiée par la transformation des coordonnées sans cesser d’exprimer la même surface.
171. Par une méthode analogue à celle du n°148, on obtient immédiatement des formules pour celte transformation.
Soient 0.r, O y, Oz, les axes primitifs faisant entre eux des angles quelconques;
a, b, c, les coordonnées de la nouvelle origine O’,
0’.r', O y, O'z' , les nouveaux axes quelconques.
M étant un point quelconque, considérons deux contours polygonaux conduisant de l’origine O à ce point M : l’un, composé de#, y , z, l’autre de «, b , c, x’, y\ z' . Leurs projections sur une droite quelconque sont égales , et peuvent fournir une relation entre les coordonnées primitives et les nouvelles. Pour obtenir directement .r, y, z, en fonction de a, A, r, #’,*/, z', imaginons un axe auxi-
liaire OX , perpendiculaire au plan yüz : les projections de y, z , A, c, sur cet axe, sont milles, et nous avons
x cos (x, X) = a cos (x, X) + a.'cos(x', X) + y'c°s(ÿ'.X) 4- s'cos(j', X).
En considérant deux autres axes auxiliaires de projection , savoir : OY perpendiculaire au plan xOz, et OZ perpendiculaire au plan .rOy, on a deux formules analogues :
ycos(ÿ,Y)=:Acüs(y > Y)+*'cos(a',Y)-}-y , cos(t/',Y)-fî’cos( 2 ',Y)
2COS(x,Z)=:ccos(7,Z)-|-;r'cos(Æ , ,Z)-}-y'cos(y',Z)-f'2'eos(î',Z)
172. Quelle que soit l’équation F(.r, y, z)=0 d’une surface, en y substituant à x , y , z, leurs expressions tirées des formules ci-dessus, on aurait une équation en x',ÿ, s’, qui serait l’équation de la même surface rapportée aux nouveaux axes : les quantités a,A,c, et les cosinus qui entreraient dans la nouvelle équation doivent être considérés comme connus dès que l’on connaît les angles des axes primitifs entre eux et la position des nouveaux axes par rapport aux anciens.
173. De ces considérations générales résultent quelques conséquences importantes dans le cas où l’équation F (.r, y y z) = 0 de la surface est algébrique.
1 ° U équation transformée en .r’, y\ z’, est du même degré que l’équation primitive : le raisonnement pour le démontrer est celui du n° 150.
2° Si l’on coupe par un plan quelconque une surface dont l’équation F (x, y, z)=z() est algébrique, la courbe d’intersection est tout au plus du même degré que la surface , c’est-à-dire que l'équation qui exprimerait cetle courbe , rapportée à deux axes quelconques pris dans son plan, ne serait pas d’un degré supérieur à celui de l’équation F (x,jr, s) = 0.
En effet , concevons qu’en transformant les coordonnées on prenne les axes des x' et des y dans le plan coupant. La nouvelle équation de la surface en x', y, z\ sera du même degré que la première. Or, il suffira d’y faire z' — 0 pour avoir l’équation de la courbe d’intersection , ce qui ne pourra jamais élever le degré.
3° Une droite ne peut percer une surface en un nombre de points plus grand que l’indice du degré de la surface , mais elle peut, en certains cas , s’y appliquer tout entière.
En effet, èn prenant la droite considérée pour axe des x', et faisant ensuite g’ =0 ctz’zzz 0 simultanément dans l’équation transformée, on aura une équation en x', qui sera , au plus , du même degré , et dont les racines seront les distances de l’origine B' aux points d’intersection.
Si la supposition ÿ— 0, z'= 0, rendait l’équation delà surface satisfaite indépendamment de x', l’axe O'x' serait tout entier sur la surface.
