Si, au lieu de changera la fois les trois
axes, comme nous l’avons supposé au n° 171, on en conserve un, et qu’en déplaçant les deux autres on les laisse dans leur plan primitif, la transformation est plus simple. Supposons que l’on conserve l’axe Os, et qu’on remplace 0.r, O y, par Ox', O ÿ , l’ordonnée z d’un point M quelconque sera commune aux deux systèmes de coordonnées , et les relations entre x, y, x' et y', seront celles établies au n° 148.
175. Appliquons cette observation à l’équation générale du second degré à trois coordonnées , afin de la réduire à la forme la plus simple , et parvenir ainsi plus facilement à caractériser les divers genres de surfaces que cette équation peut exprimer suivant les diverses valeurs de ses coefficients.
Nous supposerons les trois axes rectangulaires, en remarquant que , s’ils ne l’étaient pas, on pourrait les remplacer par d’autres qui le seraient , sans changer le degré de l’équation exprimant la môme surface (173, 1°).
Cela posé, en conservant l’axe O x, et en raisonnant quant aux deux autres comme on l’a fait au n° 151 , on voit qu’on peut toujours faire disparaître le terme contenant le produit x y. Nous supposerons donc , pour simplifier nos calculs , que B soit nul dans l’équation du n° 170, qui devient
Ax 2 + A'y’-f .V^-flS'xî -j- I5"y?+Cx + C'y -f C "s -j-l) =0,
et qui peut aussi bien exprimer toute surface du second degré.
176. Démontrons qu’il est toujours possible de diriger taxe des z de manière que V équation , exprimant toujours la même surface qu auparavant , ne contienne plus les produits xz, yz, les coordonnées restant rectangulaires.
Soit OZ la direction cherchée (üg. 50) ;
Soit Ox' la projection orthogonale de OZ sur le plan xOy ;
Et soit OY menée par l’origine O et dans le plan xOy perpendiculairement à Ox'. Cette droite sera - par conséquent perpendiculaire à OZ.
Si l’on voulait prendre Ox', OY et l’ancien Oz, pour nouveaux axes coordonnés, il faudrait (174 et 151), en faisant xOx' = 9, substituer dans l’équation de la surface les expressions
x = x’cos 9 — Y sin 9, y =x’ sin 9-j-Ysin9,
et laisser z sans changement.
Cette substitution faite, on pourrait changer les deux axes rectangulaires Ox’, Ox,et les remplacer par OX, OZ, également rectangulaires, et dans le même plan perpendiculaire à OY.
Pour cela, il faudrait, en appelant y l’angle >OL,
substituer dans la transformée précédemment obtenue
r=Zcosy — X siny, x'—l siny-}-XcoSy,
et laisser Y sans changement.
Or, ces deux substitutions successives reviennent à mettre immédiatement dans l’équation primitive les valeurs suivantes :
;~Z cos y — Xsiny, x=(Zsiny-j-Xcosy)cosQ — Ysin 9, y=(Zsiny-)-Xcosy)sin 9' — Ycos9.
Faisons donc cette substitution immédiate , mais en n’écrivant que les termes en XZ et YZ , que nous voulons faire disparaître. Nous aurons ainsi les termes
2Asinycosycos 2 9 -f-2A'sinycosy sin 2 9
— 2À"siny COSy -j- B’cos 2 y cos 9
— B'sin 2 */ cos 9 -f-B'cos 2 ysin9
— B"sin 2 ysin9
XZ — 2Asinysin 9 cos9 -|-2A'siny sinGcosO — B'cosysin9 -]~B"cosy sin9
YZ
Il s’agit maintenant de démontrer qu’il existe toujours pour l’axe OZ une position telle, que les angles 9 et y qui lui appartiennent rendent nuis ,
dans l’équation transformée, les deux polynômes coefficients de XZ et de YZ.
Prenons sur OZ, à partir de l’origine, une distance représentée par 1 . Appelons a, b,c , ses projections sur les trois axes primitifs, et d sa projection sur l’axe Ox'. Il est facile de voir qu’on a
cos-/=c, siny=:d, cos0-=^, sin0 = j
Substituons ces expressions dans les deux polynômes ci-dessus , que nous égalerons à zéro ; nous aurons deux équations :
2 A . de a j, + 2 K! de — ï A'c U q-B'^(c 3 — ^ (c 2 — rf 2 ) = 0 .
ab cb ca — 2(A — A') - B'-j + B"— = 0,
ou plus simplement
î\ca i +n , cb 2 —2\"cd 1 +E n a(c 2 —d 2 )-{-K"b{c'—d 2 )=<) [1] 2 (A — A')aA-}-B'ci — BYa=0 [2]
Ces deux équations jointes aux deux relations «4- p -\ -<*= ï , « 2 - f b 2 =æ,
renferment les conditions nécessaires pour déterminer les quantités a, b, c, d’où dépend la position de l’axe OZ.
En multipliant l’équation [1] par a et l’équation [2] par ic, puis ajoutant , on trouve
2Aa<a 2 +A 2 )-2A’W 2 +B'e 2 (a 2 +i 2 )— BW-B'YfofcO,
OUFITBE II. — EXPHESS10X DES LIEUX
ou , en divisant par cP égal à ar-\-b 2 ,
2 (A— A") ac -j- B'c 2 — B’a 2 — B'aA = 0 . [3]
Les équations [2] et [3] se simplifient encore en posant ~ c =«, * = /3, ou en substituant a—cx, h =e(3 ; elles deviennent
d’où , en éliminant (3, on tire l’équation finale en « :
2(A— A')BV— ù(A— A'XA— A") + B" J + B |J
Nous n’avons pas à nous occuper du cas où B serait nul , car il suffirait évidemment de faire permuter l’axe des z et celui des x pour que l’équation du n° 175 ne contînt plus aucun des produits XZ, 1JZ.
Si l’on avait A = A', l’équation [6] réduite à
aurait nécessairement deux racines réelles.
Dans tout autre cas il existera toujours au moins une valeur réelle de « , positive ou négative , qui satisfera à l’équation [6] : car c’est , en algèbre , une proposition générale et facile à démontrer que toute équation de degré impair, à une
üÉouÉrniQCcs pmi leurs équations. 141
inconnue , a au moins une racine réelle. Celle vuleur de a étant substituée dans l’équation [4] , celle-ci donnera la valeur correspondante et également réelle de (3. Enfin , a et (3 étant connus, les équations
a=cx, b—cfi, a 2 -f-4 2 -|-e 2 = I
donneront aisément a, b, c, et, par conséquent, la direction OZ , qui est celle de la diagonale du parallélipipède rectangle dont les arêtes sont a, b, c , suivant les axes primitifs.
177. Il résulte de la démonstration précédente que l’équation la plus générale du second degré, après avoir subi par le déplacement des deux axes la modification indiquée au n° 175, pourra, au moyen d’une nouvelle transformation, être remplacée par une autre , comprise dans la formule suivante , en coordonnées rectangulaires .•
A^ 2 + AV+ A".s 2 -f B,ry C'.y + C".» -f D = 0.
Le terme en xy a été introduit par la seconde transformation ; mais , suivant l’observation faite au n° 175, il est toujours possible de le faire disparaître par le déplacement des x et des y dans leur plan.
De là résulte celle conséquence fondamentale dans la classification des surfaces du second degré : c’est que leurs équations en coordonnées rec-
(angulaires peuvent toujours être amenées à ne plus contenir aucun des produits xy, xz, yz.
5 il. — Classification des surfaces du second degré.
178. Toutes ces surfaces sont comprises (177) dans l’équation suivante en coordonnées rectangulaires :
1V+ Py -f P"* 2 -f 2Qx-t- 2Q 'y -J- 2Q"î -f R = 0 .
Les trois coefficients P, P', P\ ne peuvent être nuis à la fois (173, 1°). Supposons d’abord qu 'aucun d’eux ne le soit. On pourra écrire ainsi l’équation :
ou , en transportant les axes parallèlement à euxmêmes ,
py+py-f P"^ 2 =s.
Le caractère général des surfaces exprimées par cette formule est que l’origine actuelle des coordonnées est le milieu de toute corde passant par ce point. En effet, si certaines valeurs de x, y, z , sont les coordonnées d’un point de la surface, et satisfont, par conséquent, à la dernière équation , des valeurs égales et de signes contraires y satisfont également , et sont évidemment les coordonnées d’un point situé à la même distance de l’origine , à l’opposé du premier.
GÉOMÉTRIQUES PAR LEURS ÉQUATIONS k*
Le point milieu de toutes les cordes qui y passent s’appelle le centre de figure , ou simplement le centre de la surface.
