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P' et P" ne l’étant pas. L’équation peut alors s’écrire ainsi , pourvu que 0 ne soit pas nul ,

ou, en transportant les axes parallèlement à euxînêmes,

py|P'-^)2Qx=0,

ou plus simplement

p' ei p" désignant des constantes positives ou négatives.

Une propriété générale des surfaces exprimées par cette équation, c’est qu’elles sont dénuées de centre. En effet, en quelque point de l’espace que l’on transporte l’origine , en laissant les axes parallèles à leur direction actuelle, l’équation sera renfermée dans la formule

Or, dans ce cas , l’origine ne peut être un centre, parce que l’équation, satisfaite par certaines valeurs de x, y, 2 , ne le sera plus par ces valeurs changées de signes.

Les surfaces dénuées de centre présentent deux cas distincts.

1" Cas des surfaces dénuées de centre. P' et P’ ou p et p’ de même signe.

184. Si p' et p ’ étaient négatifs, ils deviendraient positifs par le changement de sens de l’axe des.r.

p’ et p’ étant donc supposés positifs, on voit, en faisant successivement y = 0 et j = 0, que les plans des xz et des xy coupent la surface suivant des paraboles dont le diamètre principal est l’axe positif des x , et dont le sommet est à l’origine des coordonnées.

Un plan perpendiculaire à l’axe des x , dans sa partie négative, ne rencontre point la surface. Si, au contraire , il coupe l’axe des x dans sa partie positive, aune distance quelconque, son intersection avec la surface est une ellipse.

Cette surface s’appelle paraboloïde el/iptùjue. Lorsque/) 1 et/)" sont égaux, elle devient unparaboloïde de révolution engendré par la rotation d’une parabole autour de son diamètre principal.

2" Cas des surfaces dénuées de centre. P’ et P" ou p' et p " de signes contraires.