Cas particulier Dans l’équation

p**+py-fp ,, s 2 =o

les trois coefficients sont de même sigue.

L’équation , ne pouvant être satisfaite que par x=0, y— 0 et x=0 simultanément, n’exprime qu’un seul point.

188. 2° Cas particulier. Les trois coefficients ne sont pas de même signe.

L’équation peut être écrite ainsi :

Les sections de la surface par les plans des xz et des yz se composent chacune de deux droites passant par l’origine. La surface est un cône. Eu effet, six', y', z’, sont les coordonnées d’un de ses points et satisfont à l’équation , tout autre point de la droite passant par ce premier point et par l’o-

rigine aurapour coordo nnées les produits mx\ my\ mz\ des premières par un même nombre. Or ces produits satisferont également à l’équation. Donc la droite dont il s’agit est tout entière sur la surface (’).

La surface devient un cône de révolution quand a et b sont égaux.

189. Toute surface conique du second degré coupée par un plan qui ne passe pas par le sommet ne peut donner pour intersection que l’une des trois 'courbes du second degré (173, 2°), et donne une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que le plan coupe toutes les génératrices rectilignes , ou qu’il est parallèle à ‘l’une d’elles seulement , ou qu’il est parallèle à deux génératrices. De là le nom de sections coniques donné par les anciens géomètres aux courbes du 2 e degré.

Les hyperboloïdes, dont le cône est le cas particulier, ont la même propriété de fournir les trois courbes par leurs sections planes.

190. En discutant (183) l’équation générale du n" 178 dans l’hypothèse où P serait nul , P' et P" ne l’étant pas, nous avons excepté les cas où Q (*)

(*) Le mime raisonnement prouve que toute équation algébrique en x , y, z, dont tous les termes sont du même degré, «prime une surface conique dont le sommet est l’origine des coordonnées.

serait nul en même temps Si P et Q étaient nuis, réquation pourrait se ramener à la forme

Py-hP"* J =S ,

qui appartient en général à une surface cylindrique (77) dont les génératrices rectilignes sont parallèles à l’axe des x.

Elle comprend quatre nouveaux cas particuliers.

191. 3' Cas particulier. Si P' et P” sont de même signe, et que S ne soit pas nul, il est aussi de même signe, sans quoi il y aurait impossibilité , et la surface est un cylindre à base elliptique .

192. V Cas particulier. Si, P 1 et P" étant de même signe, S est nul, l’équation, qui ne peut être satisfaite que par y =0 et 2=0, indépendamment de .r, exprime une seule droite , qui est ici l’axe des x.

193. 5 e Cas particulier. Si, P' etP"élantde signes contraires, S n’est pas nul , la surface est un cylindre à base hyperbolique .

194. 6° cas particulier. Si P' et P” étant de signes contraires, S est nul, l’équation, de la forme y 2 — nvz~ 0 , ou y=±/«s, exprime deux plans qui se coupent suivant l’axe des x.

193. Il reste encore à examiner les cas où deux des coefficients P, P', P”, de l’équation du n° 178,

deviennent nuis. Cette équation peut alors s’écrire ainsi

p "(^+|!) î +2Qx+2Qy+R-^= 0 ,

ou, en transportant parallèlement les axes des x et des y,

P'z 2 +2Q:r-f2Q'y=S, équation qui comporte trois cas distincts.

196. T Cas particulier. Si aucun des coefficients Q, Q', n’est nul, quel que soit S, la surface coupée par un plan quelconque parallèle au plan des xy donne une droite parallèle à celle qui dans le plan des xz et des yz aurait l’équation

y=-gi*-

Les sections dans les plans des .rz et des yz sont des paraboles ; la surface est donc un cylindre à base parabolique .

Il en serait de même si l'un des coefficients Q, 0', était nul , quel que fût S.

197. 8* Cas particulier. Si Q et Q' sont tous deux nuis, S ne l’étant pas, l’équation, réduite à

PV=S ou z =:±l/pi;> exprime deux plans parallèles.

198. 9' Cas particulier. Enfin si Q, Q’ et S, sont nuis à la fois, l’équation P'z 2 =0, satisfaite seule-

ment par z— 0, indépendamment de x et de y, exprime un seul plan , qui , par les transformations , est devenu celui des xy.

190. Ainsi , outre les cinq principaux genres de surfaces que peuvent exprimer les équations du second degré à trois variables, on peut trouver comme cas particuliers :

Trois espèces de cylindres , le cône , deux plans qui se coupent , deux plans parallèles, un seul plan , une droite ou un point unique.

§ 12. — Plans diamétraux et diamètres des surfaces

DU SECOND DEGRÉ. SlMIMTUDF. DES SECTIONS PARAL- LÈLES.

200. Quelle que soit une surface du second degré, prenons pour axe des z une droite qui la coupe en deux points , le plan des xy étant d’ailleurs quelconque; son équation sera de la forme

d’où

*=-f(B':r+B"y+C")±KR

en désignant par R un polynôme en x et y du second degré au plus On voit aisément par là que le plan dont l’équation est

zz= | (B'ar^j-B"y-j-C")

coupe toutes les cordes parallèles à la première

en leurs milieux. Ce plan s’appelle plan diamétral.

Il existe une infinité d e plan* diamétraux , puisqu’on peut donner à une corde une infinité de directions.

201 . Si l’on prend pour plan des xy le plan diamétral qu’on vient de trouver, en conservant le premier axe des * , l’équation de la surface ne contiendra plus * au premier degré et sera de la forme

* 2 -f A^-fA'y-f-B^y-j-CjX-J-C'jy -f-D=0.

Maintenant en changeant la position des axes des x et des y dans leur plan , et laissant l’axe des z parallèle à sa première direction , on pourra réduire le polynôme en x et y qui accompagne z l à trois termes ou à deux, suivant le cas (n“* 152 et 153). Donc l’équation de la surface deviendra

}— My 2 — }— Njr 2 — P = 0 si elle a un centre, ou

z 2 -^- My 2 -j- P.r = 0 si elle n’a pas de centre.

Ces formes sont précisément celles que nous avons discutées aux n" s 180 et suivants. La seule différence est ici que les trois axes ne sont pas rectangulaires.

Il esta remarquer que, d’après ce qu’on a vu aux n‘“ 155 et 156, il y a une infinité de systèmes d’axes des y et des x pour lesquels, l’axe des z

GÉOMÉTHlgl'ES PAR l.EURS ÉQUATIONS. 155

restant le même , les formes des équations ci-dessus ne changeraient pas.