On appelle d’une surface du second
degré une droite dont la propriété est de contenir les centres des sections faites par des plans parallèles entre eux.
D’après ce qu’on vient de voir, toute droite menée par le centre d’une surface du second degré parallèlement à une corde qui rencontre cette surface en deux points est un diamètre.
Lorsque trois diamètres sont tels qu’en les prenant pour axes coordonnés on a l’équation de la surface sous la forme
**+ Myn-N^+P = 0,
chacun d’eux contient les centres des sections parallèles au plan des deux autres : on les appelle diamètres conjugués.
Lorsque l’équation d’un paraboloïde est sous la forme
Taxe des .r est un diamètre, mais il n'en est pas de même des deux autres axes.
203. Le mine. D’après la définition de la similitude eu général (’), deux courbes planes sontsem-
(*) Un système de points M, N, 1*... (formant soit des lignes, soit dessur-
blables el semblablement placées par rapport aux axes coordonnés lorsque, l’équation de l’un étant F (.r, y) = 0, l’équation de l’autre est F(Ær, ky) =0, k indiquant un nombre constant, qui est le rapport de similitude , et la notation F indiquant la même fonction dans les deux équations.
Il résulte de là :
1°Que les deux courbes à centre dont les équations sont :
y iJ T nx 2 =p , y 2 - f- nx~ />',
(le coefficient « étant le même dans les deux équa-
faces , soit un ou plusieurs corps), étant situé d'une manière quelconque dans l'espace, si l'on prend un point S aussi quelconque (pouvant comme cas particulier être l'un de ceui du système), qu’on mène les droites SM, SN , SP..., et quesur ces droites prolongées au besoin on porte, è partir du point, les distances SM', SV, SP'..., proportionnelles à SM, SN , SP..., et dirigées respectivement dans le même sens, les points M\ N', P'... , ainsi obtenus, formeront un système semblable au système M, N, P..., et semblablement placé par rapport au point S, qui s'appelle pôle commun de similitude. Les points M', N', P'..., sont respectivement les homologues des points M, N, P... Les droites telles que M'.V et MN , qui joignent deux points d’un système et leurs homologues dans l'autre, sont des droites homologues. Enfin deux plans passant l’un par trois points d'un système el l’autre par les trois homologue» du système semblable sont deux plans homologues. Cela posé, on démontre : t* que dans deux systèmes semblables et semblab lemen placés deux droites homologues quelconques sont parallèles , cl que leurs longueurs sont entre elles dans le rapport des distances de deux points homologues quelconques au pèle commun ; 2° que les plans homologues sont parallèles; 3* que les angles plaus, dièdres ou polyèdres, homologues, sont égaux. — Deux systèmes peuvent être semblables sans être semblablement placés ; mais il faut pour cela qu'il soit possible d'en construire un troisième égal h l'un d'eux et en même temps semblable & l'autre et semblablement placé par rapport ù un'pôle commun. On démontre aisément d'après ces principes que deux systèmes semblables à un troisième sont semblables entre eux.
tions) sont semblables et semblablement placées par rapport à l'origine si p et p' sont de même signe: car, en faisant p'= la seconde équation équivaut à
k 2 y 2 -\- nk 2 x 2 =p.
2* Que deux paraboles quelconques dont les équations sont
yh='2px, y 2 =‘2p’x,
sont semblables et semblablement placées par rapport à l’origine si p et p’ ont même signe : car, en faisant p —^ i la seconde équation équivaut à
4 2 y 2 =2p . kx.
204. Théorème. 1° Si un plan coupe une surface du second degré suivant une courbe à centre , il en est de même de toutes les sections planes parallèles à la première : tous les diamètres principaux de ces sections sont dans deux mêmes plans , et par conséquent leurs centres sont sur une même droite.
2° Si l’une des sections est une ellipse , toutes les autres sont des ellipses semblables dont les lignes homologues sont parallèles.
3° Si l’une des sections est une hyperbole , toutes les autres sont des hyperboles , dont les asymptotes sont parallèles et qui peuvent former deux groupes distinct i (T hyperboles semblables.
4° la première section est une parabole , toutes les sections parallèles sont aussi des paraboles , qui
ont leurs diamètres principaux dans un même plan.
Démonstration. 1 " Soit la première section rapportée à ses deux diamètres principaux pris pour axes rectangulaires des * et y. L’équation sera de la forme
~'H-/V/ 2 'rV==°-
Imaginons le plan diamétral qui correspond dans la surface aux cordes parallèles à l'axe des z. Ce plan diamétral rencontrera le plan coupant suivant l’axe des y, puisque cet axe a, dans le plan de la section , la propriété de passer par les milieux de toutes les cordes parallèles à l'axe des z. Enfin prenons l’axe des x, dans le plan diamétral , suivant le diamètre qui coupe en leurs milieux les cordes parallèles à l’axe des y. L’équation de la surface rapportée aux trois axes ainsi définis sera de la forme
z 2 -j- py 2 -j- q — j- m x 2 -j- n x = 0 .
Or, si pour obtenir une section faite par un plan parallèle à celui des zy on fait x=constante , on trouve une courbe ayant un centre situé sur l’axe des x , et deux diamètres conjugués qui, étant dans les plans des zx et des yx , sont parallèles aux axes rectangulaires des z et des y.
2° Si la première section est une ellipse , p est positif; et, tant que ar n’est pas assez grand pour rendre imaginaires les sections parallèles, ces
sections restent des ellipses semblables, puisque le coefficient p de y 2 ne change pas. Par la même raison les axes homologues des sections sont dans un même plan.
3° Si la première section est une hyperbole , p est négatif et peut être remplacé par — Z 2 ; l’équation de la surface devient
z 2 — zy-j- q 4- «IX 2 - j- nx = 0
La première section a pour asymptotes deux droites dont les équations sont
z—±ly;
et, suivant que q est positif ou négatif, l’axe des s est le diamètre principal transverse ou non transverse.
Toutes les sections parallèles seront également des hyperboles, puisque le coefficient — Z 2 de y- ne change pas, et leurs asymptotes, ayant toujours la même équation en z et y , seront par conséquent dans deux mêmes plans , et parallèles.
Ces hyperboles seront semblables tant que, en faisant varier x, on ne changera pas le signe du trinôme q-^-mx^-^nx. Mais si ce signe change, le diamètre transverse de la nouvelle hyperbole devient parallèle au diamètre non transverse de la première, et vice versa. Les deux courbes ne sont plus semblables : l’une occupe les deux angles ai-
ItiO CHAPITRE II. — EXPRESSION UES LIEUX
gus de ses asymptotes , l’autre les deux angles obtus des siennes.
Quand le trinôme y-)- »ix*-j-nx peut changer de signes , il y a une valeur de x qui le rend nul , et alors la section se réduit à deux droites parallèles aux asymptotes des sections parallèles.
4° Si la première section est une parabole , on peut choisir les axes rectangulaires des s et des y de manière que son équation soit
z 2 — 2py — 0 .
Prenons Taxe des x dans le plan diamétral correspondant h l’axe des z : l’équation de la surface sera comprise dans la formule suivante
z 2 — ‘2py H - »ix 2 -j- nxy -4- y j = 0 ,
les coefficients «i, w, y, pouvant être nuis séparément ou tous à la fois. Or il est évident que, si l’on y fait x=. constante, on aura toujours l’équation d’une parabole dont le diamètre principal sera dans le plau des xy, par conséquent parallèle à l’axe des x. Ce diamètre sera dans le sens positif ou dans le sens négatif de l’axe des y suivant que 2 p — nx sera positif ou négatif. Lorsque ce binôme sera nul , la section dégénérera en deux droites parallèles, ou même en une seule droite si l’on a en même temps
'îp — mx = 0 et wix 2 -|~ÿ.r=:0..
§ 13. — De quelques propriétés des surfaces
