CHAPITRE III

peut rendre aussi petit qu’on veut en diminuant suffisamment MM'.

212 . La définition ordinaire de la tangente au cercle est en défaut pour beaucoup de courbes. Au contraire la définition générale (n*2M) s’applique au cercle. En effet, à mesure que l’arc MM' (fig. 55) décroît, l’angle au centre MOM' devient aussi petit qu’on veut , et par conséquent l’angle S'MO diffère aussi peu qu’on veut de l’angle droit : donc la tangente en M est la perpendiculaire MT au rayon OM.

215 . Tangente à l'ellipse. Soient F, F', les foyers (fig. 56), et M un point de la courbe. Pour avoir un second point M' de l’ellipse , on porte une longueur arbitraire MN en augmentation du rayon vecteur FM , puis MN'=MN en diminution de l’autre rayon vecteur F’M; et des centres F, F’, on décrit les arcs NM', N’M\ Un point quelconque S de la sécante MN' jouit de cette propriété que, si l’on mène SK, SK', parallèles aux cordes M'N, M'N', on a MR=MK’ comme MN = MN'. Or à mesure que M'M diminue , les angles M’NM, M'N'M, approchent autant qu’on veut d’être droits; de même les angles SRM , SR’M : donc la tangente MT est telle que si d’un de ses points on mène des perpendiculaires TV; TV, aux rayons vecteurs FM, F'M, les distances MV, MV’, sont égales;

rtOTIOSS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. 171

donc MT est bissectrice de l’angle VMF' ; donc angle TMF’=angle T'MF.

On arrive au même résultat de la manière suivante, par l’emploi des infiniment petits , qui, dans un langage abrégé , sous-entend les idées intermédiaires ci-dessus exprimées. Pour obtenir un point M, de l’ellipse infiniment voisin du point donné M , il faut augmenter l’un des rayons vecteurs d’une longueur infiniment petite MX,, et diminuer l’autre d’une quantité égale MN', , puis décrire deux arcs N,M,, N',M,, des centres F, F . Ces aies infiniment petits se confondent avec deux droites perpendiculaires en N, et N', sur MV et MF': donc la diagonale infiniment petite MM, dont le prolongement rectiligne est la tangente divise l’angle VMF' en deux parties égales

214. Tangente à l’hyperbole. Solution analogue (fig 57). On prend MN'=MN; SR, SR', étant parallèles aux cordes M'N, M'N', on a MR = MR': donc si TV , TV', sont perpendiculaires en V, V', on a MV=MV' ; donc la tangente RIT est la bissectrice de VMV'; donc

angle TMV=angle TM F'.

213. Tangente à la parabole. On prend (fig 58) MN‘=MN; on décrit l’arc NM' du centre F; on trace N'M' parallèle à la directrice Alt; par le point