Tangente à la spirale d’ Archimède

Soit M (fig. 61) le point de contact donné; M’ un point voisin sur la spirale ; PMN un arc de cercle ayant O pour centre ; OP le rayon vecteur initial. Par la définition de la courbe on a OM\ OM, proportionnels aux angles M'OP, MOP, et par conséquent PN «à PM ; d’où

M'N : arc MN : : OM : arc PM

Soit a ce dernier rapport indépendant de la distance MM'. A mesure que M' se rapproche de M, l’angle MNM' approche d’être droit; l’arc MN approche d’être égal à sa corde ; donc le rapport « approche d’être la tangente Irigonométrique de l’angle M'MN des deux sécantes MS, MH. Mais ces deux sécantes approchent en même temps des tangentes, l’une MT à la spirale, l’autre MU au cercle PMN Donc « est la tangente trigonométrique de l’angle TMU.

OMPlinK III.

Si OT' est perpendiculaire sur OM on a

tfP = tang. UMT =« ;

mais az=

OM

arc PM :

donc OT', qu'on appelle sous-tangente , est égale à l’arc PM.

219. Tangente à la cgcloïdc (143). Soit M (fig. 62) le point de contact donné; M’ un point voisin sur la courbe; O, O', les positions correspondantes du centre du cercle générateur. Si l’on mène M'N parallèle à AL , on a (143)

AL=arc LM, AL’=arc L'M'=arc LN,

d’où

A L' — A L ou I. L'= arc M N ;

or on a