CHAPITRE

doivent satisfaire les coordonnées x-j-Ax, y-j-Ay, du point M'.

y + \y= =r^fj- ï +3x 3 Ar-f-3.riP+Aj- 3 )

retranchant y=^j..r 5 et divisant par A.r, on a

inclinaison de la sécante sur Taxe des x

3x 2 . 3xlx ■ A.r 3 n 1 a 1 •" m 3

Cette inclinaison (ou tangente trigonomélrique de l’angle M’MQ) dépend, comme cela doit être , de l’abscisse x du point M, et de l’accroissement Ax. A mesure que Ax décroit, le dernier membre approche autant qu’on veut de qui est par conséquent sa limite. C’est ce qu’on voit en assignant à Ax des valeurs décroissantes telles que — , Or cette limite, étant celle de l’inclinai-

son de la sécante, est l’inclinaison de la tangente sur l’axe des x (21 1) : donc

lira. — = inclinaison de la tang. sur l’axe des x

Cet exemple donne une idée de la méthode à suivre en général pour déterminer la tangente à une courbe d’après l’équation de cette courbe.

La notation lim.— sc remplace par ~ , exprès-

Ai? (l X

sion qui peut se considérer sous trois aspects différents.

'ai P eut ^ tre cons ‘^cré comme une simple notation équivalente à celle-ci, lim. signifiant limite du rapport des accroissements simultanés de y et de X, à mesure que ces accroissements approchent de zéro. Sous ce point de vue dy et dx ne sont pas deux quantités : ~ en est une; est son inverse >

c est-a-dire lim. — .

2° On peut considérer dx et dy comme les accroissements qu’il faut donner à x et y pour passer du point M de la courbe à un autre point N de la tangente en M. Dans ce cas, dy et dx sont deux quantités, liées l’une à l’autre par un rapport déterminé; mais elles sont d’ailleurs arbitraires. On peut alors écrire indifféremment , dans l’exemple n° 220,

dy 3-r 2 , Sx 2 , , . „ , .

— -, ou dy— —7- «x, ou a-dy=z3x~dx.

dxa i •' a 2 J

Sous ce second point de vue on peut faire Ax=dx , et les trois quantités dx , A y, dy , seront les accroissements simultanés de l’abscisse, de l’ordon. née de la courbe, de l’ordonnée de la tangente. Ainsi par exemple on aura (fig. 63) en même temps

PP'= dx ; >IQ = Ay ; NQ = dy.

CQAPITKE III.

Les deux rapports dont le second est la

limite du premier, ont donc une différence qui décroît autant qu’on veut à mesure que dx dimiuue. Ainsi on peut poser

dx dx ’ ’

a quantité dépendante de d.c et devenant aussi petite qu’on veut à mesure que dx diminue. Il en résulte qu’à mesure que les quantités Ay, dy, décroissent par suite de la diminution de dx , le rapport de A y à rfy approche autant qu’on veut de l'unité; car l’équation ci-dessus donne

3° Le troisième mode de considérer dy et dx est une conséquence des observations précédentes. On peut assigner à dx un tel degré de petitesse que rfy puisse, sans crainte d’erreur dans les applications ou les conséquences qu’on en tirera, être pris pour A y ou réciproquement. A ce degré de petitesse et au dessous , les accroissements dx et rfy sont dits infiniment s petite , et rfy peut alors être considéré indifféremment, et selon le besoin de la recherche dont on s’occupe , comme l’accroissement de l’ordonnée de la courbe , ou de l’ordonnée de la tangente. Considérés sous ce dernier point de vue, les accroissements simul-

HOTIOHS Dü CALCUL DIFFÉRENTIEL.

tanés dx, dy , s’appellent les différentielles (les variables x , y.

222. Lorsque deux quantités variables sont tellement liées que , une valeur quelconque de l’une d’elles étant donnée, on peut en conclure la valeur correspondante de l’autre , on dit que chacune des variables est fonction de l’autre.

Si y est exprimé immédiatement au moyen de x, comme dans y—ax, y=^» y=x*, y— A% y— a logx, y=asinx, on dit que y est une fonction explicite de x, et l’on se sert des notations y=R x )i y=F(x), etc.

Si l’on donne seulement une relation entre y et x, par exemple une équation à laquelle les deux variables doivent satisfaire , la fonction qui n’est pas exprimée immédiatement au moyen de l’autre variable est dite implicite.

Une relation de ce genre s’écrit ainsi :

Dans les autres exemples ci-dessus x est fonction implicite de y. Une fonction implicite devient explicite par la résolution de l’équation. Par exemple on tire des équations précédentes

CÏIAPITRE 111.

x = — l^ / ir—f.

225. Toute fonction peut être représentée par une courbe, ce qui fait pressentir Futilité très étendue de la recherche des tangentes aux courbes comme moyen de reconnaître comment une fonction varie dans le voisinage d’une de ses valeurs particulières. En général y étant une fonction de x désignée par F(x), la quantité d £ en est une autre qu’on désigne par F'(.r), et qu’on appelle la dcrivce de F(x). La recherche de l’inclinaison

il Jes courbes ou de la dérivée d’une fonction dx

quelconque est le premier objet du calcul différentiel et a des applications importantes dans la mécanique.

224. Quand on a l’inclinaison £ de la tangente en un point M de la courbe , on trouve aisément

<*■ 64) TD ^ la soustaugenle TP = ^>

la sousnormale NP = ^,

et les lignes analogues sur l’axe des y

NQ =

xdx

~dÿ’

§ 3. — Différentiation

DES FONCTIONS FONDAMENTALES X ”, -, log. X, SÎ D X»

22». y=x m , l’exposant m étant entier.

Dans cette équation et dans celles des numéros suivants, x et y sont des nombres et représentent les coordonnées d’une courbe moyennant le choix d’une ligne prise pour unité. Les diverses courbes qu’on obtiendrait en faisant varier cette unité seraient semblables.

On a par la formule de Newton

y -j- Ay = (x-|- Ax) m = .r m -(- mx m ~' A.r -j- k Ax 2 .

A- est un polynôme, dont le premier terme est j x m ~% et les autres ont Ax pour facteur.

Ces deux équations donnent

— =wi.T m “'-f- A A.r, bx 1 ’

d’où

Jim. OU y J —7r)X m ~' .

dx dx

Ce résultat s’écrit aussi de cette manière :

d. x m =?nx m ~'dx;

c’est-à-dire que la différentielle d’une puissance de x s’ obtient en diminuant F exposant d’une unité, en multipliant par F exposant primitif et par la différentielle de X.