AX AX

</y =/'(x) . rfç (x) -f df (x) ,

ou encore

</w» = udv -J- vdu.

Ce résultat général s’énonce en ces termes :

5 e ThÉorÈme. La différentielle d'un produit est égale à la somme des résultats qu’on obtient par la différentiation faite en considérant successivement chaque facteur comme variable et F autre comme constant.

Exemple, y = (a 2 -j-x 2 ) 3 log. (i-j-x), dy—^aé-^xrŸ * dx-\- log.(A-f-x) • 3(a J +^ 2 ) 2 ' 2xt/x

O “T” JS

= (a 2 -f-xV (a 2 +x 2 )+6xlog.(i + x)J dx.

239. Le 5 e théorème s’étend à un nombre quelconque de facteurs.

y—uvz , considéré comme («»)x, donne

or

dyzzz uvdz -J- zd (uv) ; duv ±xudv -J- vdu ;

donc

dij zzzuvdz -^-uzdv -\-vzdu.

La règle à suivre en général est manifeste.

240. La môme règle s’applique à un quotient, car on peut le mettre sous la forme d’un produit.

dy = ud -= — -

udc rdu—udv

241. Les règles déduites des cinq théorèmes précédents suffisent pour différen lier les fonctions explicites qui ne renferment que les opérations indiquées par les quatre fonctions fondamentales et des additions ou multiplications. Il reste à considérer Iqs fonctions implicites.

Exemples. I e Iogy=sinx; 2° y'zxzaxy- j-x 3 .

Dans chaque cas y est en réalité une fonction de x, quoique non exprimée explicitement. Chaque membre est donc, ou fonction immédiate de x, comme sin x, ou fonction de fonction de x, comme logy ou y 3 , ou fonction de plusieurs fonctions de x , comme axy-f-x 3 . Or, quand deux fonctions d’une même variable sont égales, quoique différemment exprimées , leurs dérivées et leurs différentielles, par rapport à cette variable , sont nécessairement égales.