V. Soii
y=:a-l-x(x-hi)(x — 2) = a-Ha:' — ar* — a jc.
L'ordonnée prend la valeur a en trois points dont les abscisses sont X = — I, x= o et x = 2. Si l'on fait x]> 2, y esA^a <ei croit indéfiniment avec x\ $i l'on suppose a:<^ — I, y— <2 est négatif et sia valeur absolue croit indéfiniment avec celle de x* ' En dîfférentiant on a
f (jt:)=ï3a:* — 2X — a,
qui devient nulle par
r = i(iit V7Ksoît
£T MINIMUMS. 211
el
quantité qui varie comitie rordonnée d'une ligne droite.
Si Ton fait x = x\ cette seconde dérivée devient 2 ^7 j elle est donc positive non- seulement par x = x\ mais aussi pour les valeurs de x qui diffèrent peu de x' en plus ou en moins. Donc à l'abscisse x' répond un minimum Aey qui est approximativement
a — 2,ii4«
De même, si Ton fait x = x" dans Texpression de la seconde dérivée, elle devient — 2^7 5 elle est négative pour les valeurs de x peu différentes de x'' en plus ou en moins. Donc à l'abscisse x^^ répond un maximum dey qu'on trouve approximativement égal à
La valeur de x qui rend f" {x) nulle, est a: = ^- Pour
a:> -î f" [x) est positive, et la concavité de la courbe est
dans le sens des y positifs. Pour a: <^ ^5 F (x) est négative,
et la concavité du côté des y négatifs. Donc à j; = ^ ré* pond un point d'inflexion de la courbe.
272« Remarques. I. Il faut se garder de penser que les expressions maximum et minimum d'une fonction ou de l'ordonnée d'une courbe signifient la valeur la plus grande et la plus petite que puisse prendre cette fonction' ou cette ordonnée. L'exemple IV le montre bien, puisque y finit par croître indéfiniment avec x positif et décroît de même quand X décroît, c'est-à-dire devient négatif et prend des valeurs absolues de plus en plus grandes.
ai a MAXIMUMS CT MIHIMX7MS.
II. Une même fonction peut prendre plosieurs maximums ou plusieurs minimums (*) égaux ou inégaux. Exemples : i^. Pourjr = sinx il y a une infinité de maximums tous égaux à I, qui répondent à
et une inGnité de minimums^ égaux à — i , qui répondent à
le nombre entier n ayant telle valeur qu'on voudra, positive ou négative.
a°. Pour la fonction
qui devient — oo quand on fait a: = dz oo , on trouve aisément que la courbe a trois points où la tangente est parallèle aux x; qu'un minimum a répond à x = o, un nuixi^ muni a 4- lo, 66 . . . répond à ocr = — 2 , et .un autre a -f- 4) ^3 . . . répond à x = 1 .
III. Un maximum et un minimum peuvent être indifféremment positifs ou négatifs. On doit se rappeler à cet égard qu^une quantité négative est d'autant plus grande que sa valeur absolue est plus petite, et "vice "versâ,
IV. Lorsque deux variables sont liées par une équation du second degré, On peut, en imitant le mode de discussion du n** 169, étudier la forme générale de la courbe exprimée
(*) Il n'est peut-être pas inutile de faire observer que, suivant le Dictionnaire de rAcadémio française, le mot maximum est toujours un substantif, et qu'on doit par conséquent éviter les expressions telles que le poids ntaximum^ le prix maximum f etc. Encore moins doit-on dire ta valeur maxima, la dis" tance ou la hauteur maxima, 11 faut dire ie maximum du poids, du prix, de la valeur, etc. Au pluriel, il paraît convenable d'écrire maT/mum;, comme on écrit les factums, les factotums, les pensums.
VALEURS PARTICULIÈRES SOUS LA FORME f. 2l3
par cette équation, et en conclure, s'il y a lieu, soit le maxi^ mum et le minimum de l'une des variables, si la coarbe a un centre, soit son maximum ou son minimum^ dans le cas contraire. Cette variable étant désignée par x et Fautre par jj c'est par rapport à celle-ci qu'on résoudra l'équation .
