Détermination des valeurs particulières qui^ pour

^ . r 1 r' o co

certaines Jonctions^ se présentent sous lesjorjnes - ou — • Soit •

et supposons qu'une valeur partictdière de or, désignée par Xo, rende nuls les deilx termes de cette fraction. Par

exemple

I — cos [x — xA

y -~— ^ , fmm

*^ sin [x — ^o)

Dans ce cas, on désigne souvent sous le nom de vraie valeur de la fraction la limite dont elle s'approche indéfiniment, à mesure que x s'approche de x^.

Pour obtenir cette valeur, mettons x ■+• Aa: au lieu de x.

La fonction.jr devient en général — et se réduit par

o: = Xo à — ï dont la limite^ quand on fait décroître Ax, est

dw Ax F [x,]

-p- ou -p = -xn — \ ' di' d(/ r (j7o)

c'est-à-dire que la vraie valeur dey qui répond à x^ s'obtient en Substituant aux deux termes de la fraction leurs dérivées, et faisant ensuite a: = ico» *

Si F' (.rj est encore nulle sans que f ' (Xo) le soit,' la va-'

2l4 TALEUES PÀETICULIERE8 SOUS JLA FORME ^.

leur particulière cherchée est nulle ; si c'est l'inverse, elle est infinie.

Exemple :

I— ces [x — X.) V [x) sin (jr — a:,)

•'^'^ sin (x — jTo) ' V (jCo) ""^ ces [x — x^

qui par x = Xo donnej^ = o.

On peut se figurer géométriquement la règle précédente. F [x) et f (x)^ qui s'annulent par x = aro, peuvent être prises pour les ordonnées de deux courbes qui se coupent sur Taxe des x, au point dont Tabscisse est or^. Dans le voi* sinage de ce point, les courbes se confondent avec leurs tangentes, sauf une erreur qui diminue à mesure que x approche de la limite j;». Donc le rapport des deux ordonnées diffère de moins en moins de celui des coefficients angulaires des tangentes, c'est-^à-dire du rapport des dérivées F' [x) et

f [x) ^UT X = Xq.

Si F' (a:) et f'(x) devenaient toutes deux nulles par

X = OTo, on leur appliquerait la même règle : on substitue-

rait a „,, / la traction ,,, / ^ » et ainsi de suite.