Supposons que les deux termes de la fraction - de
viennent infinis. On peut alors écrire ^ = -» et rentrer
dans le cas précédent. Or
,1 de j I du d- t= r et d-= r.
donc pour x = x© on a
V dw
DÉVELOPPEMBirrS ftH SÉRIE. &lS
d'où
du
I , Il u iu d;r
-(lii=ï-at^, ou -=:-;— ==:=—•
Asp
C'est la même formule que pour le cas précédent.
Hemaiiques. I. On voit que Tesprit de la miAiode à suivre quand une fonction prend une forme singulière par suite d'une certaine valeur attribuée à la variable, consiste à substituer à cette valeur une autre qui ea difi%re trèl-peu , et à chercher la limite de la fonction à mesure que la difle*^ rence diminue.
11% Si un facteur commun est en évidence aux deux termes de la fraction, il est clair qu'on doit immédiatement le supprimer.
Exemple:
y/x — X. (x — x^Y {x — JCo)*'
qui tend vers zéro à mesure que x approche dé Xe.
275. Développement des fonctions en séries. Un emploi utile des dérivées successives se trouve dans le développement des fonctions en série suivant les puissances entières de la variable. Le type de cette forpie des quantités est la somme d'une progression géométrique. Soit
a -f- ax -h ax^ 4- ax^ -f- . . . -H ax"""^ .
On sait que cette somme de n termes est égale à — ?
c'est-à-dire que la somme des termes d'une progression géométrique est égale au terme qui viendrait immédiate*
ai6 DÉTELOPPEMESTS
ment après le ilernier, diminué du premier et diuisé par la raison moins i .
Si la raison a: est plus petite que Tûnité , la formule sub-
sîste, mais on peut la mettre sous la forme 9 c'esl-
à-dire que la somme des termes de la progression est égale au terme gui précéderait le premier diminué du dernier et dii^isé par Vinv^erse de la raison diminué de 1.
Dans ce même «cas où la progression est décroissante, le dernier terme ax**** devient aussi petit qu'on veut, si Ton prend n assez grand ; donc à mesure qu'on augmente le nombre des termes^ leur somme approche indéfiniment de
ou qui est par conséquent sa limite. C'est ce
qu'on exprime en d'autres termes, qui ont la même signification, quand on dit que la somme des termes d'une progression décroissante ^ poussée à Vinfini, a pour ^valeur le premier terme divisé par 1 moins la raison^ ou le terme qui précéderait le premier div^isé par V inverse de la raison diminué de i .
Exemple :
Ces règles s'appliquent aussi bien aux cas où la raison est négative.
Exemples: ^
• , ft ï6 — I ^
â76. Une suite indéfiniçde termes soumis à une loi qui [ fait que la. somme des n premiers termes approché de plus en. plus et autant qu on veut d'une c^*taine.]imite «S, quand on augmente le non^lH'e n à partir d'une certaine valeur, s'appelle , une série com*ergente^ et la limite. -5 s'appelle la somme de la série. Un progression décroissante «st donc une série conveï'gente.
Pour constater qu'une sérié est convergente , il suflSl de s'assurer qu'-à partir d'un certain terme ; tous les termes suivants sont respectivement plus petits que ceux d^une progression géométrique décroissante. C'est la rémarque dont nous avons fait usage au n^ 242.
