Nous venons de voir que ■-^ est une fonction dé

X développable, quand ce est <[ i , en une série convergente suivant les puissànceis de a:, Ce qu^on écrit ainsi :

Supposons maintenant qu'une autre fonction désignée par F [x) jouisse de la même propriété, et cherchons les coefficients des termes successifs dé là série. A cet effet, posons

F{x):^Jl'hBx'^Cx*-i-Dx'' + Ex'-h^..,

entendait que le nombre des termes du second membre est poussé aussi loin que Texiige le degré d'approximation qu'on veut obtenir. En prenant les dérivées succes^ves des deux membres, on a

et ainsi de suite.

2l8 DÉVËLOPPBM^EMTS EN SÉRIE.

De ces équations qui doivent svbsister, quelle que soit la valeur de x^ au moins quand elle est assez petite , il est fa* cile de conclure les coefficienis A , jB, Ct^D^ • . . , indépen- * dants de x. En y faisant Jt = o et appelant F (o) , F' (o) , F" (o), F'^' (o) , . . . , ce que deviennent alors la fonction F {x) et ses dérivées successives , on obtient

^ = F(o), £=:F'(o), C = î^^ Z? = ^^etc., fomniles dont la loi est manifeste et d'où Ton conclut

Exemples. I.

F'(a:)=m(/n— i)(a-hx)"î-* F''(ar) = m (m— i) (m-r-a) (a4-^)'"'-'

F {o)=za'^ F (o) == mcT'^

F''(o) = m(m — i)a'"-' F'='(o) = m(w--i) (m— ajû"

(a -f- XY" =3= a" H a""r^ x H ^ â'"~' x*

C'est la formule du binôme de Newton applicable à un exposant quelconque, pourvu que n soit assez petit pour que la série soit convergente.