Exemples, Soit -p- =: ^j:'% l'exposant /n étant un

nombre quelconque, positif ou négatif , mais différent de

a3a COKiSIDÉAATIOIlS FOKDAMENTALES

Ou sait que —z — est najc"""*. Choisissant n et a de sorte

dj:

qu'on ait

na=^p et w — i = m , c'est-à-Kiire

n = 7AJ -h I et a = ^ =i: — ^— ?

on trouve que — a pour dérivée px^. Donc la formule

générale de ^ est

m-hi

a». Soii^ = f.

d lOfiTéT l0S6^

En partant de . ^ = ; on trouvé aisément

* do: X

En général, l'expression j = F(a:) -H C déduite de l'équation djr=?F'(x)dx s'appelle Vintègraïe indéfinie de

dj^ ou de F'(x) àx,

291 . La constante C cesse d'être arbitraire si l'on a les coordonnées x^ et j'o? d'un point de la courbe: car, en outre de

j = F(x)Vc, . •

on aura

jro = F(x)-»-C; ■

7— Jo = F|x)— F(x,).

Cette quantité y — y^, accroissement dey à partir dej'j, oïl depuis l'abscisse x„ jusqu'à l'abscisse x, s'appelle Vintêerale définie de àj ou de F' (,r) dx depuis Xt jusqu'à .r.

SUR LE CALCUL IlfTÉG^RAL. a33

d v Exemple. Sî la courbe dont l'inclinaison -^ relative-

ment à Taxe des x est px^fftisse par Tori^ne des coordonnée», alors On a Ccso, et l'expression de y est simplement

292. Il convient de savoir d'où vient la dénomination intégrale.

Soient j:«^ y^^ les coordonnées connues du point AI^^

(Jig. 6.7). On connaît en outre l'inclinaison f (x) de la

tangente par rapport à l'axe des x, pour tout point de la

. courbe^ en fonction de son abscisse x. On demandé l'ordon>

née JTdu point M dont l'abscisse est X. Soient t

PeP ou-ï-'— o-o subdivisé en intervalles 5,, dj , CÎ5 5

Il l'inclinaison de la corde Mo M, ^ Ijî Is7 ï*î I5) celles des cordes suivantes MiMt, MjMj. .. ; M, Ni = MiPj — MoP« = Al, la différence des deux ordonnées consécutives ; A,^ A3. i^4, Ag, les autres différences analogues.

On aura

Ai = Iicî„ Aj^IjJ,,..., A5=l5(Î3, d'où

ce qui s'exprime en abrégé, quel que soit le nombre fini des subdivisions, de cette manière : •

Si le nombre des divisions devient teUemenjt grand et les arcs, tellement petits qu'on puisse colisidérer. les cordrs comme se confondant avec les tangentes aux points, successifs de la courbe, alors les valeurs successives de I peuvent

a34 CONSIDÉ&ATtONS FONDAMENTALES .

être reraplacées par celles de f (jc) ^ Terreur que Ton commet est d'autant moindre que les intervalles d sont plus petits, et devient aussi petite qu^on veut.-

Si par exemple on fait en sorte que la différence^ entre chaque valeuip de f (x) et celle de I correspondante soit moindre qu'un millionième de celle-ci, l'erreur commise est moindre qu'un millionième de la valeur totale Sic?.

On peut donc écrire

Y — jo = lîni [f (:ro) 5i -f- f (xo -f- a,) cJ,

ou, en faisant

OPi = jc„ OP, = x„ OP, = x,...

et par suUe

Y— yo = liiii [f(-^o) (Xi — Xo)-^f(xi){xt^Xi)

-hf (a:,) (x^ — Xt)'^-'... f (x„i) (X — j:„,)].

L'usage est de représenter la notation du second membre par cette autre beaucoup plus simple :

f {x) dx

([ui a la même signification çt qu'il faut pac conséquent interpréter en des termes équivalents ^ ceux-ci :

Limite de la somme qu'on obtient :

1°. £n mettant pour x dans Pexpression f (x) une suite de n valeurs or^, .rj, a:,, 0:3,..., gui varient par degrés (igaux ou inégaux^ tnais très-petits, depuis Xo jusquà une valeur x„i qui diffère très^peu de X}

2", En multipliant les valeurs f (jTo), f^Xi), i[x*)t f(.rj),.., f(.r„^,), rcspccti^'emcnt par les différences