SUR L£ CALCUL INTÉGRAL
dire chaque valeur Hé la fonction par la différence entre la valeur de X qui F a produite et la valeur suii^ahte de ^ette même variable ; ' . ^
• 3^. En ajoutant les n produits ainsi formés. Plus le nombre « augmente, plus on approcHe de la vraie valeur rie^résentée par lîi notation ci-dessus. Le résultai ainsi obtenu, éta^it considéré comme la quantité tout etitière (en latin intégra)^ dont f (x) do: erxprime un élément infiniment petit, s'appelle pour cette raison t intégrale, i^ i{x)dxi (.es quantités x©^ -ï, dont la signification^ est ex- . pliquéeci-dêssus^déterminent/<?5ej:f/'ef7^/ï^5 dis V intégrale^ ou les Umitçs entre lesquelles là différentielle ï [x) àx est intégrée, "
293;. Il résulte- de ces considérât! ojis que les intégrales . peuvent avoir. divers caractères :
1°. Quand on donné .
^ = f(x) ou àj=L{{x).àx
et qu'il s'agit seulement de trouver une expression générale , à^jy c'e«t-à-dire de toutes les fonctions dont la dérivée est f (x) ou dont la différentielle est f (:t:) dor, si Ton parvient à découvrir une, fonction F ('a:) dont la dérivée F' (j?) soit égale à f (x), on a la réponse à la question eu. posant
Celte expression s'appelle Vinlégrale indéfinie de î(x) à:t\ et la relation qui existe entre elle et f [x) s'écrit ainsi :
C{{x)àx = Y{x)^C.
f'equi signifie simplcmentque si l'on différcn liait F(.r) -f- C par rapport a j:, on aurait f(jr) d.T.
"iSë COMSIDÉAATIDAS FONOAMEUTALKS
Exemple :
ax'^ dx '= h C 9
= , logor-l- C.
;r loge
a°. Lorsque, outre l'équâtion dj^ = f (ar)^ir, on sait i[iie la fotictionj^ prend une valeur dëterminëe^é pour une valeur également déterminée Xq de la variable rr, et qu-on demandç en conséquence la valeur J^de la fonction pour une valeur quelconque X de la variable, en supposant toujours qu'on sacbe trouver une fonction F (x) dont la dérivée soit f(x:)^ la réponse 6st dans Téquatiôn
Le second membre s'appelle r intégrale définie de i {x) dx prise depuis x^ jusquà X; et la relation qui existe entre cette quantité et f (x) s'écrit ainsi :
¥{X)--Y{x,)= f '{(x)dx.
notation dont on comprend Torigine et la signification, d'après les explications du n** 292.
, 294. Les considérations du n° 292 ne servent.pas seulement à expliquer une notation, .«Iles fournissent un théorème TRÈs-iMPOUTAHT, savoir :
Étant donnée une fonction quelconque f (x)^ si Von demande une autre quantité qui ^ diaprés sa définition^ puisse être représentée par la formule
lim [((^o) (^i — ^o) -f-f (a:'i) (xt-'^Xi) -h ...
-hf(x„^0(^-^-i)].
nu ptui simplement^ mais avec la mcmc interprétation^
j^ f(.r)dr,
SUR LB CitCUL INTJÈGRAL. ïi'J
toutes les fois ifuil sera possible de trou^'er une tjuantité F (x) dont la dérivée serait f (j^)? o« aura la réponse en posant
f {(x)dx = F(X)—F{xo).
295. Remarque, Une intégrale définie peut être négative, soitque^ entre les deux extrémités de cette intégrale, la valeur moyenne de la dérivée {[x] soit négative ; soit que To, première valeur extrême de la variable, se trouve plus grande. que la seconde X, auquel cas l'intégrale est la limite de la somme des produits des valeur^ successives de la fonction, f(xo), f (Xj),..., f (ji^i,-i), multipliées par les différences négatives :Ci — a:©, x^ — J^ivf? X — x„i5 et il est évident que lé résultat ne diffère que par le signe de celui qu'on aurait en changeant l'ordre des valeurs extrêmes. C'est d'ailleurs ce qui se conclut immédiatement de la formule précédente, étendue à tous les cas possibles. On a, en désignant toujours par F (x) une fonction dont la dérivée estf(x),
f(a:)da:=;=F(X)— F(to),
et
d'où
. f(.T)dx = F(xo) — F(.y),
f(x)dj:== — I f(a:)d.r.
296. La quadratcbe des courbes offre une application très-utile du théorème du n° 294.
Soit représentée dans la fig. 6rj la courbe ayant pour équalionj = f(xj. L'aire Po Mo MP, bornée par deux ordonnées répondant aux abscisses To, T, est la limite de la
^38 COKSIDÉRATIOXS FO^DAMOfALES
somme df* ira|)€rze6 P^ M^ M , P, , P, M , M, P, , . . . , à menait* qn'oD augmeiile le nombre des sabdivîsiuns P»P|, PiP^,.,. Celte limite est aussi «elle de la somme des parallélogrammes Pt Mt N, Pi , Pi M, Nf Pj ., . . . ' car, à mesure que les ordonnées consécutives se rapprochent, le petit triangle qui fait la diflerence d*un trapèze au parallélogramme correspondant, devit^nt une fraction aussi petite qu^on veut du trapèze, et par conséquent la somme ^le tous les trapèzes ne diffère de la somme* des parallélogrammes que d'une quantité qui est une fraction aussi petite qu'on veut de Tune ou de Tautre de ces deux sommes. Celles-ci ont donc la même limite. Donc Taire P^Mo MP, si les coordonnées sont rectangulaires, satisfait précisément à la définition de la
quantité I f (•^) dx, et par conséquent* lui est rigpuren^
sèment égale.
Si les axes coordonnés font T angle a, on a la surface
U= sina I , ydx.
297. Exemples, i^. Quadrature de la courbe paraholiqne ayant pour équation j'= ap[f^ (fig^^) •
P.MoMV=U^ f ax"^àx.
Si Ton cherche une fonction dont la dérivée soit ax"*^ on trouve (290, t«)
donc
ax-dx:^F(X) — F{xo)
Slî^ LE CALCUL INTÉGRAL. !?3i;
Sî l'on voulait Taire OMP^ on aurait
0^0 = o, et L/ = -^ »
^ Remarque :
aire OMQ = ^r— OMP = a A^«+^ —
- a°. Quadrature de. V hyperbole équilalère rapportée aux asymptotes tï ayant pour équation j^= - (//g^. 69).
Cherchant une fonction dont la dérivée soit -<• on
trouve (290,2^)
. F (x)= 2,3o26alogx-h C^ d'où l'on conclut
U= / — djr = 2,3o26a log — •
•/r, ^ . Xq
Remarques, i^. L'aire ne dépend que du rapport
