X OP
2^. Si Toi) faisait Xo=o, on trouverait l'aireyOPMcr: 00 . 3*^. Il est bon de rappeler (240) que 2 , 3o26 n'est que la
valeur approximative de y- —
. Toute intégrale définie I F(x)dx peut toujours
être considérée comme exprimant Taire d'une courf)e dont l'ordonnée rectangulaire correspondante à la vâriahle x prise pour abscisse serait égale à JF(x), C'est pourquoi Topéràtion par laquelle on détermine celte intégrale est fréquemment désignée sous le nom de quadrature.
240 COKSIDÉRATIONS FO^DAMElfTALES
299. Lsi cuBATURc pES sOLiDEft terminés par des surfaces courbes csi également du ressort du calcul int^ral.
Soit Taxe Ox (fig> 70), situé d'une manière quelconque par rapport à un corps; soit MMo AM'^M- la courbe d'intersection par un plan passant par cet axe. La génération Au corps étant soumise à une certaitTe loi ; oli suppose que Faire de la section faite dans ce corps par tout plan tel que Mo M', ou MM', perpendiculaire à Taxe, doit une fonction connue de Tabscisse x, distance du point fixe O au plan d'intersection. Cela posé, on demande le yolume du segment compris entre les deux plans Mo M*,, MM', dont les absci$s;es sont OPo = :ro,OP = X
Soit {(x) la fonction qui donne la valeur de l'aire d'une section dont l'abscisse est x. La section faite par Mo M', est f (xo), celle par MM'estf(J¥); et si l'on partage l'intervalle PoP = -Y — Xq en un grand nombre n de partiea; qu'on appelle Xi^ x,, Xj, . . . , x^^i, les abscisses des points de division; que par ces points P^, Pt, P3,. . ., on mène des plans Ml M',, M, M',, M» M',,..., qui donneront des sections f (xj), f (xi), f (xs), . . ., il est clair qu'on aura une grande approximation du volume cherché en prenant
la somme
f (Xa) (X, — Xo) H- f (X,) (X, — Xi) -hf (X,) (Xt— X,) +. • •
qui, dans le cas de la figure, est la somme des cylindres i/iscrits, dont chacun a pour base une section perpendiculaire à l'axe et pour hauteur la distance entre cette section et la suivante.
On voit de plus que Terreur commise pourra être une fraction aussi petite qu'on voudra du volume cherché, lequel est, par conséquent, et rigoureusement, la limite de la
SUR LE CALCUL IHTtCKAL. ^4'
somme cinlessus, ou
I {(x)dx.
300. Exemple. Corps de révolution engendré par VsLTC'M^M [fig. 71), dont Téquation est *^ = aa:", tour-nant autour de Taxeûx.
Dans ce cas, l'aire d'une section quelconque est celle d'un cercle dont le rayon est j^; c'est donc nj* ou 7ra*x**. Donc le volume cherché est
Si l'on voulait le volume à compter de O, on ferait Xo = o. Si OMoM était une ligne droite, m serait i, le corps un cône de révolution, et la formule deviendrait pour le volume, à compter du sommet,
3 '^ 3 7ra*X*;= ttJT* est la base et X la hauteur.
301 . En attendant que l'étude delà Mécanique ait montré d'autres applications du calcul intégral , les exemples qui précèdent suffisent pour faire apercevoir son utilité.
La détermination d'une intégrale définie étant une con^ séquence immédiate de l'intégrale indéfinie désignée plus haut par F(x) -h C, c'est dans la recherche de celle-ci que consiste la difiiculté des quadratures et des questions analogues.
§ II. THÉORÈMIBS PRINCIPAUX POUR l'usTÉGRàTION DES PONCTIONS
d'une seule VARIàRLE.
302.* Les formules des différentielles fondamentales et celles qui sont établies du n° 255 au n^ 262 permettent d e-
34^ TUÉORÈMBS POUR L^INTÉGRATION
crire iininédiatemeut les intégrales indéfinies d'un certaÎQ nombre de fonctions.
A cette observation il faut ajouter quelques théorèmes qu'il va suffire d'énoncer, parce qu'ils résultent immédiatement de ceux des ii°* 244 et suivants.
303. Théorème I. — Toute intégrale indéfinie est une fonction de la variable, plus une constante arbitraire»
Théorème II. — V intégrale d'une somme de différentielles est la somme de leurs intégrales,
/ [f(a:)dj:-h9)(x)dx-|-...]= i{[x)àx-\- j (f(x)dx-h,...
.Théorème III. — On peut faire passer un facteur constant du dedans au dehors du signe j , et réciproquement.
I a( [x) dx :=a l f (a:)dj:.
304. Théorème IV. — Lorsqu'on peut, par la combinaison des facteurs qui entrent dans une différentielle f (a:)dj!r, là mettre sous la forme aV [(fx)ào[x) , on obtient r intégrale par la formule
TaF' [<f (x)] dy (a;) = aF [y (ar)] -I- C.
Exemples :
n r ' *:i /*sin^^ 2.rd.r i , y^
1°. f a:sinx'dar= I = cosx* + 6:
20. r ^-^ ^ Ç —^a^bx) ^ —\og{a — hx) ^ ^ J <^ — bx J b{a — bx) b\o^e
DES FONCTIONS d'uWE VARIABLE. ' ^^43
OU bien
J a — bx , J bx — a'^ J b' bx — a
— log(fcjr' — rt)
6 loge
On emploie Tune ou l'autre de ces formules selon que bx est <^ ou ]> a.
305. Lorsque Tapplicatian du théorème IV paraît trop compliquée, on représente la fonction auxiliaire y [x) par une lettre, et l'oh opère comme dans l'exemple suivant, où il s'agit d'intégrer
• dy=— ^^
X^l — x^ On fait
^i — x^zzzz^ I — x* = z% — xàx=zzàz^
^x — zAz . i — d^ — d2
dz
Pour intégrer on l'écrit sous la forme
dz Az
OÙ Ton reconnaît deux différentielles de logarithmes 5 donc
La fonction «ntre parenthèses est égale à log '•
; or
244 THÉOKÈMES POUR l'iNTÉGRATION
donc
^ loge ^ X
