Remarques. I. L'intégrale

directement par une considération géométrique, ^a* — x' peut être regardée comme l'ordonnée pour l'abscisse x^ à partir du centre d'une circonférence dont le ra\on est a

se reti'ouVe

aSo FORMULES ET EXERCICES

ijig. 73). Soit

OP = .r, 01VI=fl, MP = ^à'—x\ PP'=:QM'=:da.

Lç triangle différentielMQMesi semblable au triangleOMP. On en conclut

dx MM'

Or MM' est l'accroissement que prend l'arc AM quand l'abscisse x prend Taccroîssement àx. Donc l'intégrale cherchée, à partir de a: =: o jusqu'à la valeur x quelconque, telle que OP, est égale à l'arc AM divisé par le rayon,

c'est-à-dire égale à Tangle AOM dont le sinus* est --

t X dx On trouve de même l'intégrale / :■ La similitude

des triangles OMP, MM'Q donne

dx MQ

^a^ — x^. ^ donc

X dx

MQ=:

^.ÇL" — X*

Or, MQ est la quantité infiniment petite dont décroîl Fordonnée v^' — x^ quand x croît de dx. Donc

xdx

yja} — x^

Le même genre de considération s'applique très-simplemeut à l'intégrale f V^a* — x' do:. Car, si on la prend à compter de X :ïr o, c'est l'aire du segment circulaire OAMP,

laquelle est égale à .

triangle OMP -f- secteui; AOM

= '-x y a* : — x'-l — a* arc sm -?

'ce qui est conforme au résultat de l'exemple VIII, quand on fait a:s=i, * ,

t II. Lorsqu'on a une expression' différentielle comprisie

dans la formule F [x, (a-^ bx ± x^)] àx^ on peut la rà-

meher à une autre ordinairement plus simple. Le trinôme

se transforme ainsi :

en faisant

et

on a

a-h 6xib j:'= c* (i dr-z'),

et

.r = cz ^= - ?

dx=; cd?,

trois expressions à substituer dans la proposée. *

Cette observation montre la possibilité d'appliquer les formules des n°» 311, 312. 318 II, IV, V^ VIII et IX à.des

^52 - FORMULES ET SZEBCICES

cas en apparence diflerents. Par exemple, on trouvera

= arcsîu

dx éz .2

>ja-hbx--x^ ^i 2'