IV. INTÉ6BATI0N DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

318. Deux. variables..r et y étani liées par une équation qail est toujours possible d'amener à la forme

chacune d'çlles est une fonction implicite de Tautre, et Ion

peut de cette équation déduire soit la dérivée -r-^» soîl son

inverse -^t par la différentiation (2S3), suivant la formule

ax ay^ ^

chacune des dérivées partielles étant en général une fonction de X et Aeji

En combinantles équations (i) et (a), on peut en obtenir d'autres auxquelles devront toujours satisfaire les valeurs

simultanées de a:, de j, et de -p-? et qui seront comprises dans la formule

(3) f(x,j)dj:;^-(p(a',j)dj=o.

Exemple» De

axy -A- hy^ = c on tire

aj'dx.-i-nxdy-{'2bydj=zo.

Cette différènlialion à fait disparaître le terme constant c.

d'intégrition. 25i

Ou peut, en colubiuatit ces deux équations, éliminer J, par exemple, et obtenir

oj^* djr + ( 2 c — flkr^-)dj^ = o. -

Les équations telles que (2) et (3) s'appellent des équations differenihlles^ et sont, comme on voit, de deux espèces. Les unçs, comme ( 2 ) , sont déduites ou peuvent se dc> duire immédiatement d'équations telles que (i) par La difTérentiation, ce qu'on exprime en disant que lo premier membre égal à zéro de l'équation (2) est une différentielle exacte d'une fonction F [x^y\ tandis qu'il en est autrement de l'équation ( 3 ) .

On comprend l'utilité de pouvoir remonter d'une équation ditféreniielle à Téquation (1) qui l'a produite jpar difierentiation et cotnbinaison, sauf une constante qui h disparu ou pu disparaître.

J\, suffit au but que nous nous proposons dans ces' leçons de signaler un cas simple où l'intégration se. ramène aux quadratures : c'est, celui où il est possible de séparer les variables dans l'équation diflerehiielle, ce qui signifie que l'équation (3) proposée peut se réduire à la format

f(j)dr=4>(jr) dj:,

la foncliou i{j) ue renfermant plus x, et la fonction 4> (j?) étant indépendante de y. Il suffit alors d'intégrer Içs deux membres eh ajoutant à Tun ou à l'autre une constante qui sera déterminée lorsque, eil- oUjtre de l'équation différentielle, on connaîtra deux valeurs simultanées des variables x^ly^ ou un point de la courbe exprimée par l'équation F (x,^) = d qu^'on cbêrçbe.

Exepiple. Soit

(fc)^* — «) d J^ = t.ry d/.