V. QUADRATURE T»AR APPROXIMATION

319. Etant donnée une loi géométrique ou numérique au moyen de laquelle on -peut construire une courbe par points et mesurer ou calculer ses coordonnées relatives à deux axes rectangulaires, on peut toujours calculer l'aire PoRÎ^MP^/îg'. 67) compirise entre deux ordonnées déterminées. Ce calcul se fait par approximatioti lorsque, l'ordonnée y n'est pas donnée en fonction explicite de l'abscisse X, ou lorsque cette fonction f (x) est telle , que l'intégrale

f (x) dx ne peut être obtenue sous une expression générale F (x) H- C.

320. Première métliode d^ approximation . LorsquW peut déterminer les coordonnées de n points intermédiaires, Ml, M, , Ms9-,* '9 M,, tellement rapprochés, que les arcs MglVfi, MtMt,. . ., se confondent sensiblement avec leurs coiVie?, on considère Taire cherchée comme une somme de trapèzes , et Ton a . .

PAR APPUOXIMATION. !^5

formule qui se simplifie beaucoup si les interTalIés ù sont

égaux:

321. Deuxième méthode d'approximation. Elle est fondée sur la quadrature exacte de la parabole du second d^é dont l'axe principal est parallèle à l'axe des ordonnées.

Soient trois points Mo , M,, M {fig* .'74) ) tellement situés, que leurs ordonnées soient équidistantes. Ainsi PoPi=Pi P. Ces trois points suffisent pour déterminer une parabole dont Téquation sera de la forme

Les coefficients a^b^c pourraient être déterminés en fonc- . tion des ordonnées j^o > Ji9 Y^ et des abscisse^ correspon- • dantes-, on peut donc demander Taire du segment P^ M ^MP en fonction des mêmes données.

On simplifiera le calcul en transportant Torigine des coordonnées au point Pq. L'équation de la courbe devient alors de la forme

(i) j =jro H- ft^ H- ca:% . .

et si l^on représente par X la base PqP du* segment, son aire Î7 demandée est donnée par Téquatiôn

Jr^ bX I ^[y^àx-\-bxàx-\-cx^àx)z=yQX-\ o % ^

^ AA7 . cX'

ou

î;=|(6j„-l-3i^-i-2cJC«).

Il ne s'agit plus. que de faire' disparaître de cette formule