SUR U»E LIGNE

Supposons. main tenant M' et M'' de différents côtés; soit

par exemple W^ à ©""iS à droite, et M' à ©""^S à gauche

de O. M" sera à o™, 8 à droite de M', et ce cas sera encore

compris dans la même formule (i) , si Ton donne le signe —

a la valeur particulière de x ' qui doit être portée à gauche ;

ainsi on pose x"= o"*,5 et x'=^ — o^^Z , d'où X = o"',8.

Si au contraire c'est M" qui se trouve à gauche et à o"*,5

de O, tatidis que M' est à droite et à o",3 , M^ sera à o^'jS

à gauche de M'; et la formule X= x" — x' sera d'accord

avec ce résultat si l'on fait ar"= — 'o™,5, x'=o"*,3, et

qu'on interprète suivant la même convention là valeur.

qu'on obtient , X = — o™, 8 .

Enfin , si les deux points M^, M' sont à gauche de O, les deux cas qui peuvent se présenter sont encore renfermes dans la formule X = x" — x', où les valeurs particulières des distances x'', Jî', devront être substituées avec le signe -^^. Exemples :

j/'=— 0^3, a:'==--o"^,5, X==— o"^^3-f-o^5= o"^,2, a:^'= — o™,5, jf'= — o™,3, J5r=— o",5.-ho™,3= — o"^,a.

Ainsi les six cas possibles que renferme la question proposée sont résolus par une seule formule au moyen de changements de signes correspondants aux changetnents de sens des distances x"^ x\ X,

4. Cette importante propriété de l'Algèbre appliquée à la Géométrie peut se généraliser dans les termes suivants :

lorsque là distance d'un point à un autre est susceptible d[étre portée en deux sens opposés selon les dii^ers cas d'une même question , il sujfix de traiter lu question algébriquement dans V hypothèse de Vun des deux sens^ et lès formules ou équations quon obtient cons^iennent à tous les cas possibles, pourvu que , dans les applications qui! on en fait^ on affecte les valeurs particulières de la

4 POSITION d'un point

distance dont il s^agit du signe -f- ou du signe — , selon quelles sont portées dans le sens adopté dans la mise en équation ou en sens contraire.

Cette règle très-utile, due à Descartes, ne parait pas pouvoir être démontrée dans toute sa généralité: nous aurons soin de la vérifier dans les questions où nous en ferons usage.

5. Lorsqu'on définit la position d'un ou de plusieurs points sur une droite illimitée, par les distances de ces points à un autre point considéré comme V origine commune des distances, on choisit comme /705{///^r un des deux sens dans lesquels la droite peut être parcourue, et chacune des distances dont il s'agit, étant alTectée d'un signe, l ou ' — , selon le sens dans lequel elle doit être portée à partir de Torigine, s'appelle Y abscisse du point auquel elle appartient, relativement à cette origine. Ainsi t abscisse (fun point est une quantité algébrique constituée d^une longueur et d'un signe; et si elle est désignée par x, cette lettre renferme implicitement deux éléments.

6. D'après cette déGnition , la formule X=z x" — x' établie au n'' 5 s'énonce pour tous les cas possibles en disant que V abscisse X d*un point M'', relatii^ement à un autre point M', est égale à la différence x^' — x' des abscisses des points M." et M', relativ^ement à une même origine quelconque.

De cette formule on lire

c'est-à-dire que V abscisse d^un point M" relativ^ement à une origine O égale V abscisse du même point relalii^ement à une autre origine M', plus V abscisse de cette seconde origine relativ^ement à la première. Cette proposition, évidente quand les abscisses sont positives, est également vraie dans tous les autres cas.