DANS UA PLAN

i'\ Position d-uii point dans un plan donné, exprimée en coordonnées

parallèles à deux axes concourants.

7. Voici le moyen le plus fréquemment employé pour définir la position d'un point M sur un plan. On considère comme données dans ce plan deux droites illimitées P'P, Q Q (fis* ^} concourantes , sur chacune desquelles on adopte un sens pour être le sens positif. Ces droites s'appellent a.re5 de comparaison ou axes coordonnés. Leurs parties Ox, Oy, qui s'étendent indéfiniment dans le sens positif à partir de l'intersection O , s'appellent les parties positis^es des axes. Cela posé, par le point M on imagine menées parallèlement aux axes deux droites MP, MQ, qui les rencontrent en P et Q 5 dès lors , pour exprimer la position du point M , il suffit d'exprimer celle dés points P etQ, ce qui se fait en énonçant la longueur et le signe de chacune des distances OP, OQ. Ces deux quantités, qu'on pourrait appeler les distances coordonnées du point M, s'appellent simplement les coordonnées du point M, et sont désignées d'une manière générale par des lettres italiques correspondantes aux lettres romaines* écrites dans la figure sur la partie positive de chaque axe.

Ainsi , pour le point M , situé dans l'angle xOy que forv ment les parties positives des axes , on a

X = H- longueur OP, j^ = -h longueur OQ ,

pour le point M', situé dans l'angle P'Oy de la portion négativede Taxe Ox et de la portion positive de l'axe Oy, on a

x=z — longueur OP', j = -+- longueur OQ.

De même pour M" on a

X = — longueur OP', j== — longueur OQ', et pour M'"

a: ■=: -f- longueur OP, y^=> — ' longueut^ OQ' .

6 POSITIQW d'uM POIWT

Les axes coordonnés Ox, Oy, s^appellent souvent, Tuu Taxe des x, l'autre Taxe des y. L'intersection ,0 est Y origine des coordonnées. Les coordonnées sont, dites rectan^ gulaires ou obli<jueSy selon que T angle des axes est ou n'est pas droit.

8. Etant données les coordonnées x, 7, d'un point M par rapport à deux axes connus, on obtiendra ce point p^r l'nne des deux constructions suivantes :

i^. On peut porter sur les axes les longueurs des coordonnées OP, OQ, chacune dans le sens indiqué par son signe \ puis tracer par P et Q , parallèlement aux axes, deux droites qui font avec les axes uu parallélogramme et qui se rencontrent au point M.

a®. On peut porter sur l'un des axes celle des deux coordonnées qui s'y rapporte, par exemple OP égale à x sur * l'axe Ox, dans le sens indiqué par le signe de x ; puis par le point P ainsi obtenu mener la droue PM, parallèle au second axe, égale à T autre coordonnée, et dirigée dans le sens Oy ou dans le sens opposé, suivant que cette coordonnée a le signe -h ou le signe — . Dans le cas où le point M est supposé obtenu par cette construction, la première des coordonnées s'appelle abscisse, et la seconde s'appelle ordonnée,

9. Lorsque les axes sont rectangulaires, les points P et Q sont les projections orthogonales ou les projections proprement dites du point M sur ces axes. Quand ceux-ci font un angle quelconque, les points P et Q peuvent être appelés les projections coordonnées du point M sur les axes.

10. Tous les points delà portion de droite OM ont leurs projections coordonnées entre O et P sur Taxe des x, entre O et Q sur Taxe des y . C'est pourquoi les distances OP, OQ , .dont l'étendue et le sens sont exprimés par les grandeurs

et les signes de x et de y^ sont quelquefois considérées coinme les protections coordonnées de la droite OM sur les axes.

U. En résumé, les quantités x et y, q^i servent à définii: la position d'un point M dans un plan relativement à deux axes, peuvent être considérées sous quatre aspects^ elles expriment en grandeur et en direction :

I**. Les distances de roriginé O aux projections coordonnées P, Q, du point M;

2?. Les distances des projections coordonnées Q) P> au point M 5

3^. Les projections coordonnées de la droite OM sur les deux axes ;

4^. Les deux côtés contigus d'un parallélogramme dont la droite OM est la diagonale partant du sommet commun.

12. Lorsque les axes Ox, Oy, "sont rectangulaires, les coordonnées x, j^ du point M dans leur plan sont égales aux distances de ce point aux deux axes. Il existe entre elles et la distance OM , que nous désignerons par u, la relation

qui résulte de chacun des triangles rectangles OMP, OMQ.

3*". Position d'un point dans Vespace, exprimée en coordonnées parallèles à trois axes concourants.

13. La position d'un point M dans l'espacç s'exprime par un moyen analc^ue à celui qui vient d'être exposé. On considère comme données trois droites illimitées Ox, Oy, Oz (fig» 3), qui se coupent eh un même point O et ne sont pas situées dans un même plan. Ces droites s'appellent axes coordonnés, et les trois plans qui passent par les axes, pris> deux à deux, s'appellent plans de comparaison ou plans

8 POSITION Dllf POtBT

coordonnés. Par le point M on imag;ine menés parallèlement aux plans coordonnés trois plans qui rencontrent les trois axes en P, Q, R. (La figure s'exécute en remarquant que les intersections des six plans forment les arêtes d'un parallélipipède.) Or on voit que, pour exprimer la position du point M, il suflit d'exprimer celle des points P, Q, R, ce qui se fait en énonçant la longueur et le signe de chacune des dislances OP, OQ, OR. Ces irois quantités algébriques s' appellent les coordonnées du point M pour le système d'axes dont il s'agit ^ elles sont désignées en général par des lettres italiques correspondantes aux lettres romaines écriies dans la figure sur la partie positive de chaque axe-, le plus souvent ces lettres sont x, > , r, et les axes s'appellent axes des X, des y, des z.

14. Connaissant la longueur et le signe (et par consé" quent le sens) des trois cooidonuées x, j', s, d'un point M pur rapport n trois axt^ donnés, on peut considérer sous deux points de vue la détermination de ce point :

i^. Les \alcurs de x, y, z^ déterminent les points P, Q , R , et les trois plans menés par ces points parallèlement aux plans coordonnés ont j)our unique point commun le point M.

^*'. En considérant les douze arêtes du parallélipipède OM formé par les trois plans coordonnés et par les 1 trois plans qui leur sont parallèles, on voit qu'en partant

dû point O pour arriver à M, en suivant ti^oîs arêtes consécutives de ce parallélipipède, on peut y arriver par six chemins différemment situés, mais de même étendue, tous composés de trois chemins rectilignes respectivement parallèles aux trois axes, et ayant les mêmes sens et les mêmes I longueurs que les trois coordonnées. Ces six .chemins

I sont {/ig. i) bPCM, OPBM, OQCM, OQAlVl,'ORBM,

I OR A M. On adopte ordinairement le premier, qui se com-

DAMS l'espace. 9

pose des coordonnées dans l'ordre x^y^z. Ainsi Ton considère le point M comme obtenu en portant x de O en Py puis / de P en C , enfin z de C en M.

La première des coordonnées s'appelle alors V abscisse x, la seconde s'appelle V ordonnée y dans le plan des x et y y la troisième s'appelle V ordonnée z dans V espace.

Dans la fig, 4? 1^ coordonnées x^y^z^ du point M, sont positives 5 l'abscisse x, du point M', est positive, et ses deux autres coordonnées sont négatives.

15, Le point C, où la parallèle MC à l'axe des z rencontre le plan des x etj^, s'appelle la projection du point M sur le plan des x ety parallèlement à Vaxe directeur Oz. Ce point C'est déterminé par les deux coordonnées x etj^, du poiut M , indépendamment de la grandeur et du signe de la troisième z. De même les points A et B {fig* 2) sont les projections analogues sur les deux autres plans coordonnés, et chacun d'eux est défini par deux coordonnées du point M, indépendamment de la troisième.

Si l'axe Oz est perpendiculaire sur lé plan xOy, le point C est la projection orthogonale de M sur ce plan^ et la ligne projetante MC est perpendiculaire à ce même plan. Dans tout autre cas, la projection C est dite obliqué^ et dépend de la direction de Taxe Oz.

16. Le point P, dont la position est déterminée par l'abscisse X, et où le plan mené par M parallèlement au plan yOz rencontre l'axe Ox, s'appelle la projection du point M sur Vaxe des x parallèlement, au plan directeur yOz. Les points Q et R, déterminés respectivement par les coordonnées y et z^ sont les projections analogues sur les deux autres axes.

Si le plan yOz est perpendiculaire sur l'axe Ox, le point P est la ♦projection orthogonale de M sur cet axe, et

1 PRQJECT105

là ligne projetante MP est perpendiculaire à, ce même axe* Si cette condition n^est pas remplie, la projection P est dite oblique et dépend de la direction du plan yOz.

17. Les droites OC, OB, OA , sont \e% projections coor* données de la droite OM sur les plans cootdonnés. Chacune d'elles est déterminée complètement par deux coor-^ données du point M.-

Les distances OP, OQ, OR, exprimées par a:, j', z, sont les projections coordonnées de la droite OM sur les axes coordonnés.

18. Les coordonnées x^j^ Zy du point M, peuvent donc être considérées sous^ quatre aspects :

i°é Comme les distances de Forigine O aux projections coordonnées P, Q, R, du point M sur les axes;

2.^. Comme les distances des projections coordoiinées A, R, C, sur les plans au point M 5

3^. Comme les projections coordonnées de la droite OM sur les trois axes ;

4^. Comme les trois côtés contigus d'un parallélipipède dont la droite OM est la diagonale partant du même sommet.

19. Lorsque les axes coordonnés Ox, Oy, Oz, sont rectangulaires, les coordonnées a:, j^ z^ d'un point M, sont égaler aux distances de ce point aux trois plans coordonnés

Dans ce cas, en faisant OM = 21, on a

n'=z''^ OC, OC ==x'.H-j% d'où

d'uïï coiitour polygonal. 1 I

4°. Projections d'une droite limitée et d'un contour polygonal

sur des axes coordonnés.

20. Si deux points M' et IVF sont projetés en V et P^ sur Taxe Ox, la distance P'P*', prise avec le signe qui convient au sens allant de P' à P', s'appelle la projection de la droite M' M'''. L'ordre dans lequel on énonce les points extrêmes M-, M'', et leurs projections P, P", détermine le sens de la projection P'P'', d'où résulte le signe que celle-ci doit prendre dans les formules où elle entre. Ainsi, dans le cas de laifig. 4; la projection de M' M" est -h longueur W^\ tandis que la projection de M"M' est — cette même lon^ gueur,

21. Il résulte de cett« définition, et de là discussion du n° 3, que la projection d'une rf/'o/fe M'IVF, dont l^s extrémités M', M", ont x' et y pour abscisses sur taxe do projection^ est égale à x^^ — x! ,

22. D'après cette même définition, on reconnaît aisément l'exactitude de la propoisition générale que voici :

Théorème. Quels que soient l'axe Ox de projection et le plan coordonné yOz, la somme algébrique des projections des côtés d'un chemin polygonal M M'' M"'... Mf"^ qui conduit du point M' au point MS^\ est égale à la projection du chemin direct MMVÎ^"^ (fiS' ^)'

En eflfet, cela est évident si les projections partielles P'P'', P'P", . . ., sont de même sens et par conséquent de même signe; et si elles sont de sens opposés, chaque projection positive fait avancer le point P de toute sa valeur dans le sens positif, tandis que chaque projection négative le fait reculer de toute sa valeur dans Tautre sens.

On peut démontrer cette proposition algébriquement en s' appuyant sur celle du n^ 20, ,

x', jt/', x'", . . . , xS'*\ étant les abscisses des points M',

12 1>1STANCË DE l>El \ VOiMi».

M", M'",. . . , M "^, sur Taxe do projection, ou aura en général, eu égard aux signes :

Projection de M' M'' = a/' — x!

Projection de M^M'" = x"' — od' ,

Projection de M^""*^ M^"^ = jcf"^ — x "-*\ cl en ajoutant, réductions faites,

Somme des projections de M' M" M'". . . IVl^"' = .r^"^ — a'.

23. Deux points M' et M" étant situés d'une manière quelconque relativement à trois axes coordonnés, si par chacun de ces points on mène trois plans parallèles aux plans coordonnés, on formera un parallélipîpède dont la droite M' M" sera une diagonale, et dont les trois arêtes contiguës partant du sommet M' seront égales et parallèles, avec le même sens, aux trois projections j/' — x ^ y'^ — y'f z" — z\ de la droite M'M'^ sur les axes coordonnés.

Si l'on porte sur les trois axes, à partir de l'origine 0, des distances égales à ces projections, chacune dans le sens qui convient à son signe, et qu'on achève le parallélipipède dont ces distances seront trois arêtes contiguës, ce second parallélipipède sera égal au premier; sa diagonale, partant de Torigine O, sera parallèle à la droite M' M", de même sens et de même grandeur.

Dans le cas particulier où l'une des projections est nulle, les points M'IVF sont dans un plan parallèle à l'un des plans coordonnés, et les parallélipipèdes se réduisent à des parallélogrammes. Si deux des projections étaient nulles, les deux points seraient sur une droite parallèle à l'un des axes, et la distance M' M'' serait égale à sa projection sur cet axe.